12.2. Интегральное соотношение

ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим течение жидкости в двумерном плоскопараллель­ном потоке над криволинейной поверхностью малой кривизны. В этом случае удобно ось координат ОХ считать криволинейной, расположив ее на обтекаемой поверхности вдоль течения (рис.12.5).

П

Рис. 12.5. К выводу интегрального соотношения для пограничного слоя в несжимаемой жидкости

роведем через две точки В и D находящиеся на контуре обтекаемого тела и отстоящие на расстоянии dx друг от друга, нормали к контуру. Элементарная площадка ADBC длиной dx является основа­нием выделенного из жидкости объема шириной, равной едини­це. Применим к этому жидкому элементарному объему теоре­му об изменении количества движения (теорему импульсов), при этом количество движения и импульс действующих сил на этот элемент запишем только для проекции на ось ОХ. Масса жидкости, втекающая через сечение АВ за время dt с .перемен­ной по сечению скоростью, и масса жидкости, вытекающая че­рез сечение CD за это же время, соответственно равны:

и

откуда находим разность вытекающей и втекающей масс жид­кости: . Проекция на ось ОХ коли­чества движения жидкости, втекающей за время dt через сечение АВ: А проекция количества движе­ния жидкости, вытекающей че­рез сечение CD: Из условия сохранения массы через верхнюю

границу погра­ничного слоя АС внутрь объема ABCD должна втекать масса жидкости, равная разности масс жидкости, вытекающей через сечение CD и

втекающей через сечение АВ, т. е.

Количество движения, вносимое этой жидкостью,

где V₀ – скорость на верхней границе пограничного слоя. Таким образом, проекция на ось ОХ приращения количества движения жидкости, находящейся в момент времени t внутри объема ABDC за время dt: (а)

Количество движения, вносимое в объем ABDC за время dt, считаем отрицательным, а уносимое из этого объема — положи­тельным.

Теперь вычислим проекцию на координатную ось ОХ суммы импульсов внешних сил, действующих за время dt на жидкость, заключенную внутри элементарного объема ABDC. Проекции на ось ОХ внешних сил (сил давления), действующих на грани AB, АС и DC, будут соответственно равны:

где d/ds — синус угла между гранью АС и осью ОХ. Пренебре­гая малыми величинами высшего порядка и учитывая, что про­екция силы давления на жидкость элемента стенки BD на ось ОХ равна нулю, получим сумму проекций сил давления на ось ОХ:

Тогда проекцию импульса сил давления на ОХ можно записать как: (б)

Импульс силы трения, приложенной к нижней грани BD, пло­щадь которой dхl, имеет проекцию на ось ОХ, равную –₀dxdt, где ₀ – касательное напряжение (в)

Учитывая, что изменение количества движения равно импуль­су сил, приравняем сумму (а) к сумме выражений (б) и (в) и после сокращения на dxdt

получим (12.1)

Это равенство, полученное на основании теоремы механики о количестве движения, называется уравнением импульсов или интегральным соотношением Кармана для плоского установив­шегося течения в пограничном слое несжимаемой жидкости. С помощью этого соотношения без решения системы дифферен­циальных уравнений можно определить толщину пограничного слоя и распределение сил трения по поверхности тела. Кроме того, интегральное соотношение (12.1) применимо и для лами­нарного и для турбулентного пограничных слоев. Учитывая, что в уравнении (12.1) в силу стационарности течения все величины зависят только от координаты х, частные производные можно заменить полными:

(12.2)

В этом уравнении известными считаются величины V0, dp/dx (из уравнения Бернулли ), плотность ρ, а неизвестными – Vx, ₀ и δ. Поэтому для решения конкретных задач необходимо иметь еще два соотношения, например Vx = Vx(у), τ₀ = τ₀(δ).