12.3. Применение интегрального соотношения для расчета характеристик ламинарного

ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим наиболее простой случай – продольное обтека­ние плоской пластины, сведения о толщине пограничного слоя и сопротивлении трения которой могут быть использованы для приближенного расчета тонкого профиля и некоторых других крыльевых профилей.

Для плоской пластины интегральное соот­ношение несколько упрощается. На верхней границе погранич­ного слоя в этом случае V₀ = V_ = const. Тогда из уравнения

Бер­нулли при ρ_ = const следует, что dp/dx=0 и ин­тегральное соотношение принимает вид (12.3)

Приближенно закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя можно найти, представив функцию Vx = f(y) в виде полинома, например, в виде полинома второй степени : Vх=а + bу + су², (12.4)

где а, b, с — постоянные коэффициенты, определяемые из гра­ничных условий.

Для пластины граничные условия будут следующими:

а) на нижней границе пограничного слоя, т. е. у стенки при у = 0 Vx=0'

б) на верхней границе пограничного слоя при у =6 Vx=Voo;

в) на верхней границе пограничного слоя отсутствуют силы трения (τ = 0), следовательно, на основании формулы Ньютона при y = δ t=mu дVх[ду=0; dVx/dy=0.

Из этих граничных условий находим значения коэффициентов:

a = 0, , . (12.5)

Тогда закон распределения скоростей по поперечному сече­нию пограничного слоя (12.4) запишем в виде (12.6)

Воспользуемся формулой Ньютона для определения напря­жения трения на стенке:

или (12.7)

Итак, два дополнительных соотношения (12.6) и (12.7) сов­местно с интегральным соотношением (12.3) позволяют решить задачу о ламинарном пограничном слое на плоской пластине.

Определяя значения интегралов, входящих в уравнение (12.3) с учетом (12.6) и (12.7) будем иметь:

Более точный закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя может быть получен при представлении функции Vx=f(y) в виде полинома третьей или четвертой степени.

При этих подстановках с учетом формулы (12.7) уравнение (12.3) преобразуется в дифференциальное уравнение:

которое после разделения переменных принимает вид:

Интегрируя это уравнение, получим (12.8)

Полагая при х = 0  = 0 (в начале пластины толщина погра­ничного слоя равна нулю), находим, что постоянная С = 0. Из соотношения (12.8) следует, что профиль пограничного слоя на внешней границе представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат. Из уравнения (12.8) можно найти толщину

пограничного слоя δ при различных значениях коорди­наты х: (12.9)

где , тогда получаем: .

Из этой формулы, в частности, следует, что при t = 0° С, р = 760 мм рт. ст., V_= 120 м/с, х = 1 м, _возд = 0,1333 · 10 ^-4 м²/с толщина пограничного слоя  = 1,2 мм.

Из формулы (12.9) видно, что толщина пограничного слоя прямо пропорциональна корню квадратному из кинематического коэффициента вязкости ν (т.е. зависит от температуры) и дли­ны пластины х и обратно пропорциональна корню квадратному из скорости на верхней границе пограничного слоя, которая в данном случае равна скорости невозмущенного потока V_.