1.4. Деформация и вращение жидкой частицы

Пусть х_j — радиус-вектор, отмечающий положение точки О в декартовой системе координат. Поместим в эту точку вершину элементарного куба с ребрами x_j, которые в начальный момент времени параллельны осям координат. Проследим движение этого жидкого элемента, состоящего из одних и тех же частиц жидкости.

Через малое время t вершина куба переместится в соседнюю точку O₁, а жидкий элемент повернется и деформируется. Это объ­ясняется тем, что скорости точек жидкого элемента отличаются от скорости в точке O.

Пусть в точке O компоненты скорости равны u_i. Тогда в малой окрестности точки O компоненты скорости можно представить выражением (16)

Жидкий элемент переносится как целое со скоростью и_i.

П оследний член этого выражения представляет приращение скорости u_i вдоль координаты x_j, т. е. (в индексной записи) полное приращение функции трех переменных через соответствующие частные производные. Поворот и деформация жидкого элемента определяются только приращением скоростей, поэтому рассмо­трим член (u_i/x_j)х_j при различных значениях индексов. Для наглядности графического изображения исследуем сначала пово­рот и деформацию одной из граней куба, например, нижней грани, параллельной плоскости х₁х₂ (рис. 1.3).

Величина (u₁/x₁)х₁ показывает, насколько компонента в точке a больше, чем в точке O. Следовательно, величину (u₁/x₁)х₁ можно трактовать, как скорость удлинения ребра Oа. Значит, ди₁/дх₁ представляет скорость относительного удлинения ребра, т. е. скорость удлинения, отнесенную к первоначальной длине ребра.

В

Рис. 1.3 Определение деформации и вращения грани

еличина (u₂/x₁)х₁ выражает скорость вращения ребра Oа относительно точки O. Следовательно, ди₂/дх₁ представляет угло­вую частоту вращения ребра в указанной плоскости.

Аналогично * – ди₁/дх₂ равно угловой частоте вращения ребра Ос в плоскости х₁х₂, а ди₂/дх₂ — равно скорости относительного удлинения этого ребра. * Перед выражением поставлен знак минус, так как положительным счита­ется вращение против часовой стрелки.

Удлинение ребер вызывает деформацию элемента. Вращение ребер в общем случае приводит как к деформации элемента, так и к чистому вращению элемента как твердого тела. Для последу­ющего нужно выделить чистую деформацию и чистое вращение.

Чистое вращение — оба ребра вращаются в одну сторону с одинаковой угловой частотой (угол между ребрами не меняется). Чистая угловая деформация — ребра вращаются с одинаковой угловой частотой в противоположные стороны (биссектриса угла не вращается).

Частота чистого вращения характеризуется частотой враще­ния биссектрисы, которая представляется как полусумма частот вращения ребер (причина появления знака минус объяснена раньше)

Скорость угловой деформации характеризуется полуразностью частот вращения ребер

Рассуждения относительно деформации и вращения других граней куба совершенно аналогичны. Поэтому, возвращаясь к общему случаю, целесообразно представить приращение ско­ростей в таком виде (17)

Введем обозначения (18) и перепишем предыдущую формулу (19)

И з проделанных рассуждений следует, что e_ij должен характери­зовать скорости деформации частицы. (Эта величина называется тензором скоростей деформаций).

В частности, е₁₁ характеризует скорость удлинения нижней грани куба (рис. 1.4) вдоль оси x₁

Аналогично е₂₂ дает скорость удлинения этой грани вдоль оси х₂

Н

Рис. 1.4 Деформация грани

аконец, е₁₂ = е₂₁ характеризует скорость деформации сдвига

Возвращаясь снова к общему случаю, отметим, что е_ij = e_ji, и поэтому тензор скоростей деформации жидкой частицы можно представить в виде такой таблицы: (1.20)

Р ассмотрим теперь выражение для частоты вращения (1.18). Сначала отметим, что ω_ij = 0 при i = j, кроме того, ω_ij = – ω_ji. Таким образом, независимыми остаются только три компоненты. Частота вращения частицы представляется вектором и тогда может быть обозначена буквой с одним индексом или одним столбцом, в котором выписаны компоненты этого вектора по осям коор­динат (1.21)

Следует подчеркнуть, что ω_i характеризует частоту вращения в точке, т. е. предполагается, что ось вращения проходит через частицу, которая стягивается в точку.

Окончательный вывод формулируется теоремой Гельмгольца: общее движение жидкого элемента состоит из: 1) поступательного движения вместе с центром; 2) вращения с некоторой угловой частотой вокруг оси, проходящей через центр; 3) деформационного движения.