3. Решение задач по химии.

Многие процессы химической технологии описываются дифференциальными уравнениями - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами.

Э то обусловлено следующим. Сущность химических реакций сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и после реакции остаётся постоянным. Изменение концентрации с одного из реагирующих веществ в единицу времени t при постоянном объёме называют скоростью химической реакции:

При этом безразлично, о каком из участвующих в реакции веществе идёт речь: все они связаны уравнением реакции, и по изменению концентрации одного из веществ можно судить о соответствующих изменениях всех остальных.

С другой стороны, для осуществления химической реакции между веществами А и В, протекающей по формуле

н еобходимо столкновение их молекул (частиц). Чем больше столкновений, тем быстрее протекает реакция. Число же столкновений тем больше, чем выше концентрация реагирующих веществ. Отсюда на основе обширного экспериментального материала сформулирован закон действующих масс: скорость химических реакций пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Этот закон выражается уравнением:

где с_Аi - концентрации веществ Аi где i = 1, . . ., n, k - коэффициент пропорциональности, называемый константой скорости реакции.

Получили зависимость скорости реакции от концентрации и от её производной. Такие зависимости, согласно п 1.1. представленной работы, и связываются дифференциальными уравнениями.

В химии часто различают реакции по общему числу молекул, входящих в левую часть химического уравнения, которое называется порядком химической реакции.

Так, А → В - реакция первого, а А + В → С + D - реакция второго порядка.

Задача№1. Вещество А превращается в вещество В. Определить первоначальное количество вещества А и время, когда останется половина этого вещества, если спустя 1 час после начала реакции осталось 44,8 г вещества А. А после 3 часов 11,2 г.

Решение. Здесь имеет место реакция первого порядка, n = 1. Обозначим через а - первоначальное количество вещества А, через х - количество вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции, тогда дифференциальное уравнение имеет вид:

Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем:

Понятно, что при t = 0 x = 0, имеем С = а, и, значит:

(1)

Используя дополнительные условия (при t = 1 x = а - 44,8, при t = 3 x = а - 11,2), имеем:

а - 44,8 = а(1 - е^-k),

а - 11,2 = а(1 - е^-k),

и ли

Найдём искомое время распада половины этого вещества. Имеем:

Такой же результат можно было получить сразу после определения а = 89,6 (г), заметив, что 89,6 - 44,8 = 44,8 (г) - половина первоначального количества вещества, оставшаяся спустя 1 час после начала реакции (по условию).

Ответ. Первоначальное количество вещества А равно 86,9 г, время, когда останется половина этого вещества -1 час.

Полученный результат хорошо соотносится с теорией радиоактивного распада, там, например, часто распад характеризуют не постоянной k, а временем распада половины наличных атомов - периодом полураспада. Уравнение (1) не противоречит, открытому в 1905 году фон Швейдлером закону радиоактивного распада, по которому количество нераспавшихся атомов при естественно радиоактивном распаде экспоненциально уменьшается с течением времени.

Задача№2. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натрия первоначальные концентрации указанных веществ а = 0, 01 и в = 0, 002 соответственно. Спустя 23 минуты концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10%. За какое время она уменьшится на 15%?

Решение.

СН3СООС2Н5	+	NaOH	→	СН3СООNa	+	С2Н5OH
Уксусноэтиловый эфир		Гидроксид натрия		Ацетат натрия		Этиловый спирт

З десь имеет место уравнение второго порядка, n = 1. Обозначим через а - первоначальное количество уксусноэтилового эфира, через b - первоначальное количество гидроксида натрия, через х - количество и одного, и другого вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции (x < a, x < b), тогда дифференциальное уравнение имеет вид:

Р азделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем:

П онятно, что при t = 0 x = 0, имеем

и , значит:

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t = 23 мин х = 0, 01∙ 0, 1 = 0, 001. Имеем:

Найдём искомое время. Имеем:

Ответ. Концентрация уксусноэтилового эфира уменьшится на 15% за 47, 9 минут.

Аналогично рассматриваются и реакции более высоких порядков.

Заключение.

Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

Такие уравнения называются дифференциальными.

Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки.

В представленной работе:

- описаны теоретические основы дифференциальных уравнений;

- рассмотрены некоторые приёмы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии.

В ходе работы, возникла необходимость более полного, чем предполагалось, изучения основ моделирования реальных объектов.

Практическая ценность метода математического моделирования заключается в следующем:

• правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель позволяет оптимизировать изучение реальной системы по времени;

• математическая модель позволяет облегчить прогнозирование хода и результатов экспериментов, проводимых в реальных системах.

Список литературы.

1. Баврин И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.

2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. - М.: Просвещение, 1984.

3. Владимиров Ю. А. и др. Биофизика: Учебник. - М.: Медицина, 1983.

4. Глинка Н. Л. Общая химия: Учебное пособие для вузов. - М.: Химия, 1985.

5. Зайцев И. А. Высшая математика: учебник для неинж. спец. с.-х. вузов. - М.: высшая школа, 1991.

6. Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1988.

7. Маковецкий П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов. - М.: Наука, 1979.

8. Роджерс Эрик Физика для любознательных, том 3. - М. "Мир", 1973.

9. Справочник машиностроителя, том 1. - М.: МАШГИЗ, 1956.

10. Хомченко Г. П. Химия для поступающих в вузы: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1993.

11. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.

12. Штейнгауз Гуго Задачи и размышления. - М.: "Мир", 1972.

1 Для упрощения записи обозначили произвольную постоянную через , что возможно, т.к. может принимать любое значение от - ∞ до + ∞.

49