3. Решение геометрических задач.

При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

• сделать чертёж и ввести обозначения;

• отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках;

• выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной;

• по условию задачи составить дифференциальное уравнение;

• найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

З

Рис. 5

адача№1. Определить поверхность, по которой необходимо отшлифовать зеркало прожектора, чтобы все лучи, выходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси (рис.5).

Решение. Возьмём меридианное сечение поверхности вращения. Выберем начало координат в точке 0, ось абсцисс направим по оси вращения и обозначим угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к искомой кривой, проведённой в точке M(x; y), через α. Тогда по условию задачи имеем: ∟SMT = α. Но ∟OMN = ∟TMN (угол падения равен углу отражения), поэтому ∟OMA = ∟SMT = α. Таким образом, треугольник OAM - равнобедренный и │ОА│=│ОМ│.

Из чертежа видно, что │АО│=│АР│-│ОР│=у сtg α - x. Поскольку сtg α = 1/ tg α = 1/y′, то │АО│=│АР│-│ОР│= у /y′ - x.

С другой стороны,

П олучаем дифференциальное уравнение:

Запишем его в форме:

Получили однородное дифференциальное уравнение. После подстановки x = yu, dx = udy + ydu, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Преобразования дают:

Интегрируя, находим:

З апишем полученное уравнение в виде:

Получаем у ² - 2Сх = С ², или, приводя к каноническому виду (у² = 2рх):

В результате, мы получили семейство парабол, симметричных относительно оси абсцисс, с параметром С и с вершиной, находящейся в точке (–С/2; 0), причём фокусы всех этих парабол находятся в точке 0.

Ответ. Искомой поверхностью является параболоид вращения, причём

источник света находится в фокусе вращающейся параболы.

В некоторых случаях решение задач приводит к уравнениям, содержащим

искомую функцию под знаком интеграла, т. е. Так называемым интегральным уравнениям. Такие уравнения после дифференцирования обеих частей иногда сводятся к дифференциальным уравнениям.

Рис. 6

Задача№2. Найти кривую, обладающую

следующим свойством: для любой точки М(х; у)

центр тяжести криволинейной трапеции,

ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку М с её проекцией на ось абсцисс (рис.6), равен ¾ абсциссы этой точки.

Решение. Из теории интегрального исчисления известно, что абсцисса центра тяжести данной криволинейной трапеции выражается формулой:

где t – переменная интегрирования, а у = у(t) – уравнение искомой кривой.

По условию задачи имеем уравнение

Э то уравнение является интегральным, так как искомая функция в нём содержится под знаком интеграла. Перепишем это уравнение в виде

и продифференцируем обе части неравенства по х. Известно, что производная интеграла по верхнему пределу интегрирования равна соответствующему значению подынтегральной функции, откуда:

Э то уравнение так же является интегральным. Приведём подобные и вторично продифференцируем:

П олучаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Согласно п.1.2.2., его общее решение:

Заметим, что вообще, любое дифференциальное уравнение у′ = f(x; y) с начальными условиями y(x₀) = y₀ равносильно интегральному уравнению

О твет. Кривая, для любой точки которой центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку с её проекцией на ось абсцисс, равен ¾ абсциссы этой точки является любой параболой из семейства

3. Решение задач по биологии.

   Живой организм представляет собой слишком сложную систему, чтобы его можно было рассматривать сразу во всех подробностях; поэтому исследователь всегда выбирает упрощённую точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Это сознательное упрощение реальных биосистем и лежит в основе метода моделирования.

Обычно, модели, используемые в биологии, делят на три категории:

1. Биологические предметные модели, на которых изучаются общие закономерности, патологические процессы, действие различных препаратов и т. д. К этому классу моделей относят, например, лабораторных животных, изолированные органы. Культуры клеток, суспензии органелл и пр.

2. Физические (аналоговые) модели, т. е. физические модели, обладающие аналогичным с моделируемым объектом поведением. Например, деформации, возникающие в кости при различных нагрузках, могут быть изучены на специально подготовленном макете кости. Движение крови по крупным сосудам моделируется цепочкой резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек.

3. Математические модели представляют собой системы математических выражений - формул, функций, уравнений и т. д., описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления, процесса. При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики.

Математическое моделирование, как метод исследования обладает рядом

несомненных достоинств.

Во-первых, сам метод изложения количественных закономерностей математическим языком точен и экономичен. Во-вторых, проверка гипотез, сформулированных на основе опытных данных, может быть осуществлена путём испытания математической модели, созданной на основе этой гипотезы. Наконец, математическая модель позволяет судить о поведении таких систем и в таких условиях, которые трудно создать в эксперименте или в клинике, изучать работу исследуемой системы целиком или работу её любой отдельной части.

Задача№1. Определить во сколько раз увеличится количество бактерий

за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 да 200.

Решение. Опытным путём установлено, что скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.

П усть х - количество бактерий, имеющееся в данный момент, тогда скорость изменения их количества:

Т ак как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует такая k, что:

Разделяем в дифференциальном уравнении переменные:

И нтегрируя, получаем:

ч то после потенцирования даёт:

Для нахождения С используем начальное условие: при t = 0 х = 100. Имеем: Се˚ = 100, С = 100, и, значит, х = 100 е^kt.

Коэффициент е ^k находим из условия: при t = 3 х = 200. Имеем:

И скомая функция:

При t = 9 х = 800.

Ответ. Количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.

Заметим, что закон, при котором скорость увеличения вещества пропорциональна наличному количеству вещества это, так называемый, закон "естественного роста".

Эта математическая модель процесса изменения количества микроорганизмов в колонии в зависимости от времени получена при очень больших предположениях (при неограниченных ресурсах питания и пространства для обитания и отсутствии межвидовой борьбы). В природе же, ни в одной из реально существующих колоний такой рост наблюдаться не может.

Ответ на вопрос, насколько закон "естественного роста" отвечает реальному процессу, даёт опытная проверка. Очевидно, что на каком-то подмножестве данные будут хорошо согласованы с моделью, а саму модель можно использовать для прогноза.

В 1845 году Ферхюлст - Перл получил уравнение, учитывающее внутривидовую борьбу микроорганизмов. В результате конкурентной борьбы внутри вида за пищу и место распространения, а так же за счёт болезней скорость роста снижается. В общем виде уменьшение прироста является некоторой новой функцией от х и Δх, которую обозначим через b(х, Δх). Уменьшение количества особей в результате конкуренции тем больше, чем больше число встреч между особями, т. е. пропорционально произведению х·х т. е. х². Таким образом,

b(х, Δх) = δ х² Δt.

Тогда

Δх = ε х Δt - δ х²Δt.

З десь ε - специфическая (врождённая) скорость размножения популяции, δ - коэффициент внутривидовой конкуренции. Разделим обе части последнего уравнения на Δt и переходя к пределу, получим

Э то и есть уравнение Ферхюлста - Перла. Решением этого уравнения после математических преобразований и обозначения ε / δ = h при t₀ = 0 и х(0)=х₀.является:

Задача№2. Найти зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1 600 см², а в 18 часов того же дня - 2 500 см².

Решение. Площадь листа имеет форму круга, т. е. пропорциональна длине окружности листа. Скорость увеличения площади листа пропорциональна , к тому же, количеству солнечного света, падающего на него.

К оличество солнечного света, пропорционально, в свою очередь, площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикально к листу.

Примем угол между направлением луча Солнца

и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 90°,

а в полдень - 0°.

Пусть t - время, отсчитываемое от полуночи. Если S - переменная площадь листа, то скорость роста листа:

где 2πr - длина окружности листа, Q - количество солнечного света, k₁ - коэффициент пропорциональности.

Площадь листа S = πr², откуда:

Т

(1)

огда:

П

(2)

о условию

Q = k₂ S cos α,

где α - угол между направлением лучей и вертикалью, k₂ - коэффициент пропорциональности.

Угол α - линейно возрастающая функция аргумента t:

α = k₃ t + b.

Параметры k₃ и b находим из дополнительных условий:

при t = 6 α = -π/2,

при t = 12 α = 0,

при t = 18 α = π/2.

И з двух последних условий имеем:

0 = 12k₃+ b,

π/2 =18k₃+ b.

Решая эту систему, получаем:

k₃= π/12, b= - π.

Следовательно,

Подставляя значение α в (2), имеем:

Q = k₂ S cos [π (t - 12) /12].

Из уравнения (1) получаем:

Обозначим k = k₁k₂. После разделения переменных, имеем:

И

(3)

нтегрируя, получаем:

И з начальных условий (при t = 6 S = 1600, при t = 18 S = 2500) имеем:

Р ешая эту систему, получим:

П одставляя эти значения в (3), получаем:

о

(4)

ткуда:

Ответ. Зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени выражается формулой (4).

Задача№3. Найти зависимость между высотой дерева и временем его роста.

Решение. Известно, что даже в самых благоприятных условиях все деревья независимо от породы растут сначала быстро, а затем их рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается.

С ростом кроны, с одной стороны, увеличивается приток энергии благодаря фотосинтезу, а с другой – увеличиваются трудности, связанные, например, с транспортировкой питательных веществ, и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов, притока энергии уже не хватает для покрытия расходов, и дерево перестаёт расти.

На основе этих соображений можно сформулировать основные предположения, на основе которых будет основано составление уравнения энергетического баланса, т. е. построена математическая модель.

1. Зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие, т. е. у зрелого растения с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например, отношение высоты к диаметру и т. п.

2. Свободную энергию (или активное вещество) дерево получает только путём фотосинтеза.

3. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на строительство живой ткани (рост) и на подъём раствора из почвы.

4. В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.

Составим уравнение энергетического баланса.

Обозначим за х – линейный размер растения., тогда высота растения – х, площадь поверхности листьев – х², объём растения будет выражаться величиной – х³, причём х изменяется со временем: х = х(t). При этом пусть х(t₀)=0. Попытаемся выразить все величины, входящие в уравнение энергетического баланса, через х.

Найдём, сначала, выражение для поступающей свободной энергии Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу в зелёной части растения, и её тем больше, чем больше поверхность зелёной части. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х²:

Е = α х²,

где α – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза. Других источников энергии в силу наших предположений нет.

Проследим, теперь, за расходом энергии. Прежде всего, энергия тратится на нужды самого процесса фотосинтеза. Этот расход также пропорционален х², и мы можем записать его в виде β х², где β < α – некий коэффициент пропорциональности.

Далее энергия расходуется на транспортировку питательного раствора во все части растения. Ясно, что этот расход будет тем больше, чем больше путей транспортировки, т. е. чем больше объём растения. Кроме того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные вещества. Таким образом, этот расход пропорционален и х³, и х т .е. равен γ х³ х.

Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы m = ρх³ (ρ - средняя плотность растения, х³ - объём) по времени.

Согласно закону сохранения энергии, расход энергии должен быть равен её притоку:

и ли

Это и есть искомое балансное соотношение.

Разделим обе части уравнения на 3δρх² и обозначим

П олучаем:

П ерепишем дифференциальное уравнение в виде

Т огда

Заметим, что производная dx/dt > 0, так как рост дерева увеличивается.

Значит, a - bx² > 0, и, следовательно, x²< a / b, т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования (для│x│<│с│справедливо равенство:

Т огда, имеем:

Учтём начальное условие х(t₀)=0, т. е. С = - t₀ и, значит:

Разрешая это уравнение относительно х, имеем окончательно:

(5)

Полученная формула (5) даёт кривую роста дерева. Если известны a, b и t₀ (эти величины зависят от породы дерева), то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста.

Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (5).

Вид кривой (5) нетрудно исследовать. Найдём вторую производную

Кривая (5) - выпуклая растущая кривая, а так как

т о график кривой легко представить.