Ответ. Колебания силы тока - предел синусоидальных синусоидальные колебаний эдс (со сдвигом фазы).

В природе и технике очень широко распространены процессы, в которых какая – либо характеристика последовательно отклоняется то в одну, то в другую сторону от своего определённого значения – колебательные процессы. Описать колебательный процесс – это значит выбрать характерный параметр процесса, зависящий от времени, и составить уравнение колебаний, которому он подчиняется. Широкое применение при изучении различных колебательных явлений находят линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

З

Рис. 4

адача №3. На вертикальной пружине закреплён груз массой m (рис.4). Груз выводят из положения равновесия в вертикальном направлении и потом отпускают. Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую и примем за начало координат.

Составим дифференциальное уравнение, опираясь на II закон Ньютона:

F = ma (8)

Здесь m – масса груза, а – ускорение движения, F – результирующая всех сил, приложенных к телу.

В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось Ох равна mq, уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины:

mq =ω* λ (9)

(здесь ω* - коэффициент жёсткости пружины).

Обозначим через x(t) отклонение груза от положения равновесия. В момент времени t на тело будут действовать две силы: сила тяжести mq, тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная ω*( λ + х) и направленная вверх.

Результирующая сила будет равна:

F = mq — ω*( λ + х),

или в силу (9):

F = — ω* х.

На основании закона Ньютона (8) получаем:

mа = — ω* х. (10)

В случае прямолинейного движения вдоль оси Ох ускорение равно x″(t). Равенство (10) можно записать в виде m x″ = — ω* х, откуда

x″ + ω² х = 0, (11)

где ω²= ω*/m > 0.

Получили дифференциальное уравнение движения тела – линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решения которых рассмотрены в п.1.3.4.

Корнями его характеристического уравнения r² + ω² = 0 являются комплексные числа r_1,2 = ± ωi, поэтому общее решение уравнения (11) имеет вид:

x= C₁ cos ωt + C₂ sin ωt.

Д ля выяснения физического смысла полученного решения преобразуем его: п оложим Тогда общее решение уравнения запишется так:

x= А(sin α cos ωt + cos α sin ωt),

или

x= А sin (ωt + α), (12)

где А и α – новые произвольные постоянные.

Величина А называется амплитудой колебания, аргумент ωt + α – фазой колебания, его значение α при t = 0 – начальной фазой, ω – частотой колебания.

Пусть в начальный момент времени t = 0 отклонение груза от положения равновесия равно x₀, а скорость движения x₀΄, т.е. x(0) = x₀, x΄(0) = x₀΄. По этим начальным условиям можно найти амплитуду и начальную фазу.

В

(12*)

силу условий при t = 0, учитывая равенство x΄(t) = Аω cos (ωt + α), получаем: А(sin α) = x₀, Аω cos α = x₀΄, откуда

П

(12**)

одставив найденные значения А и α в (12), получим:

Формула (12**) выражает закон движения груза. Из неё видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Ч астота и период колебания соответственно равны:

Как видно, частота и период колебания зависят только от жёсткости пружины и массы груза, т. е. определяются свойствами самой системы.

Амплитуда же колебаний и начальная фаза зависят также от начальных условий x₀, x₀΄ (см. 12*).

Ответ. Движение груза на вертикальной пружине - гармонические колебания около положения равновесия.