1.3.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = 0,
где y = y(x) — искомая функция, a1, a2, ..., an-1, an — вещественные числа.
Решением такого уравнения является функция ekx, где k – корень характеристического уравнения kn + a1kn – 1 + . . . + an – 1 k + an = 0.
Если все корни k1, k2, . . ., kn различны, то ek1x, ek2x, . . ., ekтx – фундаментальная система решений и y = c1ek1x+ c2ek2x+ . . .+ cnekтx – общее решение однородного уравнения; с1, …,сn – произвольные постоянные.
Е
сли
корни k
комплексные,
то они (при вещественных a1,
a2,
..., an-1,
an)
попарно сопряжённые. Например: kr
= α
+ βi,
kr+1
= α
- βi,
тогда и заменяются действительными
функциями еαхcosβx
и
еαхsinβx
с получением
новой фундаментальной системы.
Если
корень k = ks
имеет кратность
m, то
в фундаментальную систему решений,
кроме , надо включить функции:
Если корень k = α + βi – корень кратности m (α – βi – корень той же кратности, если a1, a2, ..., an-1, an – вещественные), то в фундаментальную систему решений входят функции:
1.3.5. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x)
решается методом вариации произвольных постоянных.
Его
частное решение можно найти по формуле:
Здесь y – решение соответствующего однородного уравнения с условиями:
Y(0) = 0, Y′(0) = 0, . . .,Y(n – 2) = 0, Y(n – 1) = 1.
Общее
решение имеет вид
Здесь z – общее решение соответствующего однородного уравнения.
В случае, когда f(x) = eax [P(x) cos bx + Q(x) sin bx], где P и Q – многочлены от x, частное решение уравнения находится методом неопределённых коэффициентов.
Если a + bi – не является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, то решение подбирается в форме правой части f(x): eax [P1(x) cos bx + Q1(x) sin bx].
Если a + bi – корень кратности m характеристического уравнения, то решение подбирается в форме: xmeax [P1(x) cos bx + Q1(x) sin bx].
З
десь
P1
и Q1
-
многочлены от x
с неопределёнными коэффициентами
степени, совпадающей с наибольшей из
степеней P
и
Q.
Если f(x) = f1(x)+f2(x), то частное решение: где
решения уравнений y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f1(x)
и y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f2(x)
соответственно.
1.4. Дифференциальные уравнения в частных производных.
1.4.1. Линейные уравнения первого порядка.
Решение однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных
Где x1, x2, . . ., xn – независимые переменные, x1, x2, …, Xn зависят от x1, x2, . . ., xn
и имеют непрерывные производные, z – искомая функция, равносильно решению системы обыкновенных уравнений
Если φі(x1, x2, . . ., xn) = Ci , (i=1, 2, …, n – 1) – искомое решение этой системы, то z = Ф(φ1, φ2, . . , φn – 1) – общее решение уравнения в частных производных, причём Ф – произвольная дифференцируемая функция своих n – 1 аргументов.
В случае неоднородного уравнения
