1.3.2. Понижение порядка дифференциального уравнения.

Важным методом решения уравнения F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка.

Пример №1. Уравнение

Последовательным интегрированием получаем общее решение:

у = ∫ . . .∫ f(x) dxⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + . . . + C_n, или

Пример №2. Уравнение F(x, y^(k), y^(k+1),..., y⁽ⁿ⁾) = 0 заменой

приводится к уравнению F(x, u, u^΄,..., u^{(n - k)}) = 0.

Используя решение последнего уравнения: u = u(x), находим у из уравнения

П ример №3. Уравнение F(у, у, у^΄,..., у⁽ⁿ⁾) = 0 сводится к уравнению (n – 1) порядка после замены

Пример №4. Уравнение F(x, у, у^΄,..., у⁽ⁿ⁾) = 0 называется однородным порядка k относительно у, у^΄,..., у⁽ⁿ⁾, если имеет место тождество:

F(x, kу, kу^΄,..., kу⁽ⁿ⁾) = t^k F(x, у, у^΄,..., у⁽ⁿ⁾) = 0.

Порядок уравнения понижается на 1 заменой

1.3.3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x),

где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x), f(x) — известные непрерывные функции.

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:

L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y .

Уравнения y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = 0 и

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), где f(x) ≠ 0,

называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальными уравнениями n - го порядка.

Часто однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения записывают в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x) соответственно.

Если в однородном уравнении a_i(x) (i = 1, 2, . . ., n) те же самые, как и в неоднородном, то однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному уравнению.

Если y₁, y₂,. . . y_k — частные решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y = c₁ y₁ + c₂ y₂ + . . . + c_k y_k при произвольных постоянных c₁, c₂, . . ., c_k так же является решением того же уравнения.

Система функций y₁ = y₁(x) + y₂ (x) + . . . + y_n(x) называется линейно независимой, если их линейная комбинация c₁ y₁ + c₂ y₂ + . . . + c_n y_n ни при каких значениях c₁, c₂, . . ., c_n, кроме c₁ = c₂ = . . . = c_k = 0, не обращается тождественно в нуль.

Если функции y₁, y₂,. . ., y_k — линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений.

Общее решение однородного уравнения имеет вид y = c₁ y₁ +. . . + c_n y_n, где y₁, . . . , y_n — фундаментальная система решений, c_j — произвольные постоянные. Последние можно определить так, чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям у = у₀, . . ., у^{(n – 1)} = у₀^{(n – 1)} при х = х₀.

Если известен частный интеграл y₁(x) однородного уравнения, то подстановкой z = y/y₁, а затем z′ = u получим линейное уравнение порядка n – 1.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Если известно общее решение c₁ y₁ +. . . + c_n y_n соответствующего однородного уравнения, то решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Р ешение имеет вид: у = с₁(х)у₁ + с₂(х)у₂ + . . . + с_n(х)у_n, где неизвестные функции с_j(х) находятся из системы уравнений относительно

Решив систему и получив находим

с_j = ∫φ_ј(х)dx + Аj, где Аj – постоянные интегрирования.