1.2.2. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.

Уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида

f₁(x)dx = f₂(у)dy

где f₁(x) и f₂(у) — непрерывные функции.

Переменными здесь считаются величины х и у. Это самый простой тип уравнений. Решение его находится непосредственным интегрированием:

∫ f₁(x)dx - ∫f₂(у)dy = С,

где C— произвольная постоянная.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

y' = f₁(x) f₂(у)

где f₁(x) и f₂(у) — непрерывные функции.

Пример. Решить уравнение y' = у / x.

Р ешение. В данном уравнении f₁(x) = 1/х и f₂(у) = у.

Р азделяя переменные, получаем

И нтегрируя, имеем¹

Потенцируя, находим │у│=│С₁│·│х│, что эквивалентно уравнению у = ± С₁ ·х.

Полагая ± С₁ =С, окончательно получаем у = С·х.

1.2.3. Линейные уравнения.

Уравнение вида

y΄+ p(x) y = f(x),

где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f(x) = 0, то уравнение y΄+ p(x) y = f(x) называется линейным однородным уравнением: y΄+ p(x) y = 0.

О чевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где C— произвольная постоянная.

Если f(x) ≠ 0, то уравнение y΄+ p(x) y = f(x) называется линейным неоднородным уравнением.

Решение неоднородного уравнения находится по методу вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что исходное уравнение записывается в форме: y = u·φ(x), где φ(x) = e ^{-∫ p(x) dx}.

Общее решение имеет вид:

1.2.4. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида

y΄+ p(x) y = f(x)·уⁿ,

где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подстановкой у = uv или вариацией произвольной постоянной.

К линейному уравнению сводится подстановкой z = y ^{– n +1} .

1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

P(x; y) dx + Q(x; y) dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x; y) в некоторой области G.

Р ешение такого уравнения имеет вид:

3. Обыкновенные уравнения высших порядков.

1.3.1. Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0,

где F - известная функция (n+2) переменных, , x - независимая переменная, y - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)).

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x из (a, b).

Общим решением уравнения называется функция у = φ(х, С₁, . . . ,С_n), содержащая n произвольных постоянных и обращающая уравнение в тождество.

Соотношение Ф(х, у, С₁, . . . ,С_n) = 0 определяющее общее решение как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения, т. е. решить задачу Коши, достаточно определить начальные условия:

y(x₀) = y₀ ; y'(x₀) = y_0,1 ; y''(x₀) = y_0,2 ; ...; y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача имеет единственное решение.