Часть I. Основы теории дифференциальных уравнений.

1. Общие сведения.

Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.

Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных.

Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных.

Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.

Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций.

2. Обыкновенные уравнения первого порядка.

1.2.1. Основные понятия

Обыкновенным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y' ) = 0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y — неизвестная функция, y' — ее производная.

F(x, y, y' ) = 0 – неявный вид уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

y' = f(x,y)

или

М(х,у) dx + N(х,у) dy = 0

называют уравнениями в нормальной форме (в явном виде).

Функция y = φ(x) при всех x из (a, b) называется решением дифференциального уравнения, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Соотношение Ф(х,у,С) = 0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция – решение дифференциального уравнения.

Частный интеграл получается из общего при частном значении С.

Особый интеграл не содержится в общем интеграле.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой.

Условия

у = у₀ при х = х₀

в силу которых функция y = φ(x) принимает заданное значение у₀ в заданной точке х₀, называют начальными условиями решения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y = φ(x,C), где C — произвольная константа.

Выражение φ(x,C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если:

• при всех допустимых значениях C функция y = φ(x,C) является решением уравнения, y' = f(x, φ(x,C));

• при любых начальных условиях решения существует единственное значение константы C = С₀ такое, что функция y = φ(x, С₀) удовлетворяет данным начальным условиям φ(x₀, С) = y₀.

Выражение φ(x,С₀) называют частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Оно получается из общего решения y = φ(x,C) при определённом значении константы C = С_0.

Задача об отыскании частного решения дифференциального уравнения называют задачей Коши.

Геометрически общее решение y = φ(x,C) - система интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной C , а частное решение φ(x,С₀) - одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку (x₀, y₀).