§ 7» Уравнения равновесия изотропных тел

Выведем теперь уравнения равновесия изотропных твердых тел. Для этого надо подставить в общие уравнения (2,7)

выражение (5,11) для тензора напряжений. Имеем

dO{k Еа диц . Е дщ_к

dx_h (1+о) (1—2а) дх_:, ' 1+а дх_к

Подставляя сюда u_ih — "If")' ^П0ЛУ^ЧИМ уравнения

равновесия в виде

2(1+а) ~Щ~ jf(l + а) (1 — 2а) дх, дх, ~> ^PSi ~~ ^(,1>

Эти уравнения удобно переписать в векторных обозначениях. В этих обозначениях величины d*Ui/dx% являются компонентами век­тора Ли, а дщ/dxi = div и. Таким образом, уравнения равнове­сия приобретают вид

^{Au +} _T^j₅₅^{-graddivu = -pg 2(1/g) . (7,2)}

Иногда бывает удобным писать это уравнение в несколько ином виде, воспользовавшись известной формулой векторного анализа)

grad div u = Au -f- rot rot u.

Тогда (7,2) приобретает вид

и- 1 —2а , , „ (1+а) (1 — 2о) _оч

grad div u - ₂₍₁__Q) rot rot u = —pg _£((_₀₎ ■ • (⁷>³)

Мы пишем уравнения равновесия в однородном поле сил тя­жести, имея в виду, что последние являются наиболее обычными в теории упругости объемными силами. При наличии каких-либо иных объемных сил вектор pg в правой стороне уравнения дол­жен быть заменен соответствующей другой плотностью объем­ных сил.

Наиболее существен случай, когда деформация вызывается не объемными силами, а силами, приложенными к поверхности тела. Тогда уравнение равновесия гласит

(1 - 2а) Au -f grad div и = 0 (7,4)

или в другом виде

2 (1 - о) grad div u — (1 — 2о) rot rot u = 0. (7,5)

Внешние силы входят в решение только через посредство гранич' ных условий.

Применяя к уравнению (7,4) операцию div и помня, что div grad = А, находим

Adivu = 0, (7,6)

т. е. величина div и (определяющая изменение объема при дефор­мации) является гармонической функцией. Применяя же к урав­нению (7,4) оператор Лапласа А, получим теперь

ААи = 0, (7,7)

т. е. в равновесии вектор деформации удовлетворяет бигармониче-скому уравнению. Эти результаты остаются в силе и в однородном поле тяжести (при операциях дифференцирования правая сторона уравнения (7,2) исчезает), но они несправедливы в общем случае переменных вдоль тела объемных внешних сил.

Тот факт, что вектор деформации удовлетворяет бигармониче-скому уравнению, не означает, разумеется, что общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) есть произ­вольная бигармоническая векторная функция; следует помнить, что функция и (х, у - г) должна в действительности удовлетворять еще и дифференциальному уравнению более низкого порядка (7,4). В то же время оказывается возможным выразить общий ин­теграл уравнений равновесия через производные от произволь­ного бигармонического вектора (см. задачу 10).

Если тело неравномерно нагрето, то в уравнении равновесия должен быть добавлен дополнительный член. В тензоре напряже­ний должен быть учтен член — Ка (Т — Т₀) 8_ik (см. (6,2)) и соответственно в do_ih/dx_h возникает член

„ дТ Еа дТ

—Ка-

dx_t 3(1—2а) dx_t '

В результате получаем уравнения равновесия в виде

³}¹~_g^<T) grad div u - У^-у rot rot u = a _VT. (7,8)

Остановимся на частном случае плоской деформации, при ко­торой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю (и_г = 0), а компоненты и_х, и_у зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты u_zi, u_xz, u_yz тензора деформации, а с ними и компоненты a_xz, a_yz тензора напряжений (но не продольное напряжение a_zz, существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси г).

Поскольку все величины не зависят от координаты г, то уравнения равновесия (при отсутствии внешних объемных сил) da_ik/dx_h = 0 сводятся в данном случае к двум уравнениям:

д°хх I да_{ху Л} до_ух . доуу ~ nm

~1х~^~у ^U' ~W~ + ~y ^{U> {/}'^У>

Наиболее общим видом функций а_хх, а_хи, а_уу, удовлетворяющих этим уравнениям, является

ду² ' ^х» дхду ' дх*

(7,10)

Охх + О"уу — /1 1 „w|_ о_а\ i^uxx + ^иуу)-

где х — произвольная функция от х и у. Легко получить урав­нение, которому должна удовлетворять эта функция. Такое урав­нение должно существовать в силу того, что три величины а_хх, °_Ху, Оуу выражаются в действительности всего через две вели­чины и_х, и_у и потому не являются независимыми. С помощью формул (5,13) найдем для плоской деформации

Е

(1+0) (1-2о) Но

. а I ди_х , ди_и ,.

о_хх + о_уу = Ах, и_хх + и_уу = -gf--i--^- = div u,

и поскольку div и есть, согласно (7,6), гармоническая функция, то мы заключаем, что функция х удовлетворяет уравнению

ААх-0, (7,11)

т. е. является бигармонической. Функцию х называют функцией напряжений. После того как плоская задача решена и функция % известна, продольное напряжение о_гг определяется непосредст­венно по формуле

^atz — (1 -j- о-) (1 2а) (^{Uxx Uu}^ " ^а ^°^хх ^vvl'

или

а_в=аД_х. (7,12)

Задачи