1; Найти фазовые скорости акустических воли в смектиках при произ­вольном соотношении между модулями а, в, с,

Решение, Продифференцировав уравнение, (47,3) по / и исключив про­изводные dp'/dt и duldt с помощью (47,1—2), получим уравнение

^-^v.-cv^-c^div. + b^].

Для плоской волны, в которой v со exp (ikr — Ш), это уравнение сводится-к соотношению

- co²v = - Ак (kv) + Ckk_zv_z + n [Ck_z (kv) - ВЩр_г], (i)

Пусть волновой вектор к расположен в плоскости х, г. Тогда из (1) следует, что и скорость v находится в той же плоскости, а х- и г-компоненты дают систему двух уравнений

v_z [с² — (А + В — 2С) cos² 6] + v_x (С — А) sin 9 cos в = 0,

v_z (С — A) sin 8 cos в + и_я [с² — A sin² 8] = 0,

где в = a/k — скорость волны, а 6— угол между к и осью г. Приравняв нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение

с* — с² {А + (В — 2С) cos² 8] + (АВ — С²) sin² в cos² 9 = 0.

Больший и меньший корни этого квадратного (по s²) уравнения определяют ско­рости ct и с₂. В частности

Ч Л^1/2 при 8= п/2,

^{1 =} i (А + В — 2С)¹'² при 8 = 0.

Скорость же сц в этих направлениях обращается в нуль,

2. С учетом диссипации определить закон дисперсии второй акустической ветви при распространении в плоскости слоев (v = я/2).

Решение. В условиях задачи скорость v направлена по оси г, а все величины зависят от х. Проецируя уравнение (46,13) на ось г, получаем

—' ('соро = — Kxk⁴u + iko'_2Xt (2)

С помощью (41,7) находим

о_гх — —j - V.

Легко проверить, что ввиду малости параметра Kip/f\l (^СР- ^с (42,7)) можно пре­небречь левой стороной (2), а эффекты просачивания при малых k несущественны, так что v = —/сои. Окончательно получаем закон дисперсии:

tco =

S. То же для распространения перпендикулярно плоскости слоев (0= 0).

Решение. Условие несжимаемости приводит в этом случае к тому, что v = 0 и движение смектика происходит только путем просачивания, Из (46,5) и (46,14) имеем тогда

ди » р д²и

или

to = XppBk*.

Мы пренебрегли в (46,14) членом с градиентом температуры. Это возможно, если температура релаксирует быстрее, чем смещение а, т. е. если ц ^ Х_ррВ, В этом случае, однако, нужно понимать под В изотермический модуль упругости.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ »')

Бигармоническое уравнение 31, 37

Вектор Бюргерса 150

— директора нематика 190 смектика 230

— смещения 9 Волны изгиба 139

• Релея 134

• сдвиговые 219

Геликоидальная структура 224 Грина тензор 41, 44

смектика 232

Групповая скорость 132

Деформация диска 71 и далее

— цилиндра 34 и далее

— шара 33 • и далее Дисклинации устойчивость 203, 206 Дислокаций плотность 164

потока 167

Дислокационная поляризация 168 Дислокационный момент 154, 168 Дислокация винтовая 150, 155, 163, 236

— краевая 149, 156, 163, 236 Диссипативная функция 178, 210, 213,

240

Дисторсии тензор 151, 165, 166

Жесткость крутильная 90

• при изгибе 65, 111

• цилиндрическая 65

Индекс Франка 196, 205

Клиновидная пластинка 73 Комбинационные частоты 145 Контактная задача 45

для цилиндров 50

Концентрация напряжений 39, 75

Коэффициент всестороннего сжатия 24

— Пуассона 25 смектика 231

— теплового расширения 28_г 57 Коэффициенты Ламэ 21

Максвелловская жидкость 188

Мембрана 79, 81, 143

Модули адиабатические 29, 194, 225

• всестороннего сжатия 22

• изотермические 28, 194, 225

• растяжение (Юнга) 25

• сдвига 22

— упругости кристаллов 51

нематиков (Франка) 191

смектиков 230, 233

Молекулярное поле 193

Нематиков кручение 191

— поперечный изгиб 191

— продольный изгиб 191 Нейтральная поверхность 60, 93 Неустойчивость упругая 83, 107, 119

смектика 234

Одностороннее сжатие 27 Отражение звука 127 и далее

Параметр, пространство вырождения 205

Переползание 161

Пластическая деформация 19, 160, 165 Плоская деформация 32 Плоское напряженное состояние 71 Плоскость скольжения 160, 167 Поверхностное натяжение 69 Поверхность скольжения 160 Принцип Онсагера 179, 215, 226, 240 Просачивание 226, 237, 239, 244 Простое растяжение 25

Сдвиг 21

Сила перерезывающая ПО

— трения дисклинации 218 Скорость звука 125, 218, 242 Собственные колебания мембраны 143

пластинки 142

полости 130

стержня 141

шара 129

Столкновение шаров 50

Термодинамические потоки и силы 216, 226, 240

Тождества для тензора деформации 37

Упругая линия 96

• нить 109

• плоскость 70

— струна 114 Упругие деформации 19

Функция кручения 87

— напряжений 32, 37, 71

Энергия взаимодействия дислокаций 163

• дисклинации 202

• дислокации 155, 156