§ 6. Деформации с изменением температуры

Рассмотрим теперь деформации, сопровождающиеся измене­нием температуры тела; изменение температуры может происхо­дить как в результате самого процесса деформирования, так и по посторонним причинам.

Будем считать недеформированным состояние тела при отсут­ствии внешних сил при некоторой заданной температуре Т₀. Если тело находится при температуре Т, отличной от Т₀, то даже при отсутствии внешних сил оно будет, вообще говоря, деформи­ровано в связи с наличием теплового расширения. Поэтому в разложение свободной энергии F (Т) будут входить не только квадратичные, но и линейные по тензору деформации члены. Из компонент тензора второго ранга u_ik можно составить всего только одну линейную скалярную величину — сумму u_it его диагональ­ных компонент. Далее мы будем предполагать, что сопровожда­ющее деформацию изменение Т — Т₀ температуры мало. Тогда можно считать, что коэффициент при и_п в разложении F (кото­рый должен обращаться в нуль при Т = Т₀) просто пропорцио­нален разности Т —_Г₀. Таким образом, получим для свободной энергии следующую формулу (заменяющую (4,3)):

F(Т) = F_Q(Т) -Ка{Т- Г₀) и_п + р (u_ik - -L 8_ihu_u)² + uf„

(6,1)

где коэффициент при Т—Т₀ написан в виде — /Сое. Величины р., К, а надо считать здесь постоянными; учет их зависимости от тем­пературы привел бы к величинам высшего порядка малости. Дифференцируя F по u_ik, получим тензор напряжений. Имеем

a_lk = -Ка (Т - Т₀) b_ih + Ku_ub_ih + 2р (u_ik - V₈6««..). (6,2)

Первый член здесь представляет собой дополнительные напря­жения, связанные с изменением температуры тела. При свободном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил) внут­ренние напряжения должны отсутствовать. Приравнивая o_ik нулю, найдем, что u_ih имеет вид const-6^, причем

и_п — а (Т — Т₀). (6,3)

Но «п представляет собой относительное изменение объема при деформации. Таким образом, а является не чем иным, как коэф­фициентом теплового расширения тела.

Среди различных (в термодинамическом смысле) типов дефор­маций существенны изотермические и адиабатические деформации. При изотермических деформациях температура тела не меняется. Соответственно этому в (6,1) надо положить Т = Т_0> и мы возвра­щаемся к обычным формулам; коэффициенты К и у можно по­этому назвать изотермическими модулями.

Адиабатическими являются деформации, при которых не про­исходит обмена теплом между различными участками тела, а также, конечно, и между телом и окружающей средой. Энтропия S остается при этом постоянной. Как известно, энтропия равна про­изводной —dFldT от свободной энергии по температуре. Дифферен­цируя выражение (6,1), находим с точностью до членов первого порядка по и_л

S (Т) = S₀ (Т) + Каи_1г. (6,4)

Приравняв это выражение постоянной, можно определить изме­нение температуры при деформации, которое оказывается пропор­циональным u ц:

£s-(T-T₀) = -Kau_u. (6,5)

¹ о

Подставив это выражение в (6,2), получим для a_ih выражение обы­чного типа

o_lh = К_Лйи_иЬ_ш -f 2р (u_ih — ^xlJ>i_hUu) (6,6)

с тем же модулем сдвига, но с другим модулем сжатия К_ал. Связь адиабатического модуля /С_ад с обычным, изотермическим моду­лем К можно, однако, найти и непосредственно по общей термо­динамической формуле

\ dp Is \ dp 1т~*~ C_p\ dT l_p

(C_p — теплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к еди­нице объема тела). Если понимать под V объем, занимаемый ве­ществом, находившимся до деформации в единице объема тела, то производные dV/дТ и dV/dp определяют относительные изме­нения объема соответственно при нагревании и при сжатии. Дру­гими словами,

_{/ дУ \ _ / dV \ _ 1 / дУ \ 1}

\дт }_р-^а> \ д_Р Js *7^Г' llF/r" ~Т'

Таким образом, получаем для связи между адиабатическими и изо­термическими модулями ¹)

Для адиабатических модуля растяжения и коэффициента Пуассона легко получаем следующие соотношения:

^ад ~ 1 — ЕТаУ9С_р ' °^аД ~ 1 — ЕТа?/9С_р~' ⁽ '>

^х) Для того чтобы получить эти формулы из (6,5), (6,6), надо было бы исполь-еовать еще и известную термодинамическую формулу С_р — C_v— Та²К,

В реальных случаях величина ЕТа^г1С_р обычно мала, и поэтому с достаточной точностью можно написать-

£,_д = £ + £²-^-, а_ад = а + (1+0)£-^-. (6,9)

При изотермической деформации тензор напряжений выража­ется в виде производных от свободной энергии!

°^1к \ du_th )т' При постоянной же энтропии надо написать (см. (3,6))t

где <$ — внутренняя энергия. Соответственно этому при адиаба­тических деформациях выражение, аналогичное (4,3), определяет не свободную энергию, а просто внутреннюю энергию единицы объема тела:

& = J^L_ub + \i(u_lk--±-u_ll6_ik)\ (6,10)