1. Определить коэффициент поглощения звука в нематической среде. Решение, Коэффициент поглощения68) вычисляется как отношение

Г = %1ср~Ф

(см. § 34), причем диссипативная функция дается формулой (41,5). При этом в ней можно опустить член h'/т. Действительно, как уже указано, молекулярное поле А со А*, н потому №1у со ft⁶⁹, между тем, как остальные члены в R пропор­циональны более низкой степени волнового вектора — k*. Простое вычисление приводит к следующему результату *)i

Г =-т^г {(тц + + 2 (Лз + 44 - % - %) ^ в +"

+ (% + Ъ + Пъ — 2т1з — 2т)4) cos⁷⁰ в -f-

-г[*_х + (Ч,-х_х)Со₈*е] (JL-_L)}_f

где в — угол между к (и тем самым v) и п. Вычисление теплопроводностной части поглощения полностью аналогично такому же вычислению для обычной жидкости — см. VI, § 79 (с_р, Сд — теплоемкости единицы массы вещества),

2. Найти закон дисперсии быстрых сдвиговых колебаний.. Решение, Для плоской волны (V со exp (ikr — to/)) уравнение (42,9)

принимает вид

— ipav_t = — ikfip + ik_ko'_th.

Для несжимаемого нематика вязкий тензор напряжений дается формулой (41,7), и простое вычисление (с учетом поперечности v, vk = 0) приводит уравнение к виду ^?)

ipwv = ikdp + aik^%v + а_г№п (nv) -f- a_akk (nv), (1)

где

°i = 4i + V» b)i — 2щ) cos⁷¹ 8,

«a = V* (т|з — 2th) + (% + % — 2tj₃) cos* 0,

Яз = ⁷²/а (48 — 2%) cosB,

где 8 — угол между k и п. Умножив уравнение (1) на к, получим формулу, опре­деляющую колебания давления по колебаниям скорости:

^а) При вычислении квадратичных величин все колеблющиеся величины должны, конечно, записываться в вещественном виде — их зависимость от t а г дается множителями cos (кг — at).

6р = Ik (nv) (а₃ + а_г cos 8). (2)

Искомый же закон дисперсии определяется поперечными компонентами урав­нения (1). Умножив это уравнение на [nk], получим закон дисперсии

^{шх = — а1 (в) = -J- (Ч1 sin2 6 + _ Г1}₃ ^{cos2 в ),}

отвечающий колебаниям v, перпендикулярным плоскости, проходящей через векторы кип. Закон же дисперсии для колебаний, поляризованных в указанной плоскости, получится умножением уравнения (1) на п и исключением из него др с помощью (2):

/со;; = fa (6) + sin² Qa₂ (9)} - JL \~L _{{T]1 +} fy _sto2 29 + -L n₃ cos² 29}.

Оба закона находятся, конечно, в согласии с качественной оценкой (42,8).

3. Найти закон дисперсии медленных сдвиговых колебаний.

Решение. Для плоской волны (6п со exp (ikt — Ш)) линеаризованное молекулярное поле

h = Н - п (пН) = — 7?! {к — n (nk)} (kSn) — tf_sv <v6n) - K_a (kn)» 6n,

где

v= [nk] (v* = ft² sin^a 6). Уравнение же (42,12) (с o'_tk из (41,7)) принимает вид

^{— Ыр — aJPv — а»#»п (nv) — а}₈^{йс (nv) + / ~Ь. „ (kh) — i l^tL h (nk) = о}

О)

(функции ai (9), a₃ (9) определены в задаче 2). Умножив его на v, находим связь между колебаниями v и on, поляризованными перпендикулярно плоскости к, п:

_ai (vv) = - i (nk) (hv) = i (kn) К_± Ш, (2)

где

/с_д = a:₂ sin² e + к» cos² e.

Далее, пишем уравнение (42,6), умноженное на v:

- /со (vSn) = -L (1 + К) (nk) (w) - -^Lt. (v6n).

Исключив отсюда (vv) с помощью (2), найдем закон дисперсии колебаний, поляри­зованных перпендикулярно плоскости к, п:

Для нахождения закона дисперсии колебаний, поляризованных в плоско­сти к, п, проецируем уравнение (1) на направление, перпендикулярное вектору к (в плоскости п, к) и умножаем его на п; это дает

^{(nv) (о}_х ^{-f a}₂ ^{sin* 9) = 1- (1 -f К cos 29) КЪ (кбп),}

^ГА6 /С fl = Ki sin" 8 + К_а cos² в.

Произведя такие же операции в уравнением (42,6), получим

_{ia> (кбп) = 4- & (1 + A, cos 29) (nv) + — Ц (кбп).}

и I УС 'ъ

-Qf = Х«3А7\ Х« = -pf- = 3V»<»* + Xj. («« - n_tn_k).

Для колебаний 8Т со ехр (/кг — Ш) находим закон дисперсии to = № (Хц cos² 0 + х_х sin² 9).