§ 41. Диссипативные коэффициенты нематиков

Члены с N и a'ii в уравнениях движения выражают собой релаксационные процессы, возникающие вследствие термодина­мической неравновесности среды; эта неравновесность в свою очередь связана с отличными от нуля h и v_tk. В обычном гидроди­намическом приближении неравновесность предполагается сла­бой, т. е. величины h, v_ik — в определенном смысле малыми. Тогда о'сь является их линейными функциями.

Однако при принятой нами форме записи уравнений движения зависящих от h членов в o'_ik писать не надо. Действительно, такие члены, составленные из компонент h и п, имели бы вид const- (n_th_k + n_hh_t). Но член такого вида уже есть в недиссипа-тивной части тензора напряжений о$ (40,23); добавление по­добного члена в а'_{к сводилось бы поэтому лишь к переопределе­нию коэффициента А,.

Общий вид линейной зависимости oik от y^i

Oik = r\_ik,_mV lm, (41,1)

причем тензор четвертого ранга т)_Шт обладает очевидными свой­ствами симметрии (следствиями симметрии тензоров oik и vtk)

ЛШт = ШИтп — Thftm!- (41.2)

Кроме того, этот тензор обладает и более глубокой симметрией, следующей из общего принципа симметрии кинетических коэффи­циентов Онсагера (см. V, § 120; как и в § 32, ниже в этом параграфемы пользуемся формулировкой этого принципа, данной в VI § 59 и введенными там определениями величин х_а и Х_а). Из выраже­ния 2R/T для скорости увеличения энтропии видно ⁶¹), что если под величинами х_а понимать компоненты тензора a'_ik, то «термо­динамически сопряженными» с ними величинами Х_а будут ком­поненты тензора — v_lmIT⁶²). Компоненты же тензора Цшт играют роль кинетических коэффициентов у_аЬ. Принцип Онсагера требует равенств у_аЬ = у_Ьа, т. е.

Пшш = Штл- (41.3)

Тензор r\_iki_m должен быть составлен лишь с помощью единич­ного тензора o_lh и вектора п с учетом указанных свойств симмет­рии. Имеется всего пять линейно независимых таких комбинации

"гп_йл_г«_т, n_tn_h6_lm + tiin_mb_th, ЩпА_т -f n_knA_m + л*п_т6_йг + h_hnj>_lb

fyftfym, ⁶³i Am + Ь_мЪ_1т.

Соответственно тензор r\_ihlm имеет пять независимых компонент; представим составленный с его помощью тензор напряжений в виде ⁶⁴)

O'ik = 2T)it>« + (П2 — T]l) O_ikVii +

+ (TU + !h — Пг) (o_ihnin_mv_lm + n,n_ko„) +

+ (Us - 2гц) {n_tniv_hl + n_kniv_ti) -f-

^{+ (Tls + Th + Th — 2г|з - 2т)}₄^{) л,/г}_й^«_г^л_го^ог_т^{- (41,4)}

Целесообразность именно такого определения всех коэффициентов иллюстрируется следующим выражением диссипативной функции, которое оно принимает при выборе одной из осей координат (оси г) вдоль направления ш

2R = 2тп (о_аР — ~y b^vy^⁶⁵ -f r\₂vla + 2n₃wL + 2r)₄o_2Zt>_aa +

') Диссипативные коэффициенты нематиков были введены (в другом виде)

_{+ ri5i&+4- fa +} ^X_{^ (}^а_«^г_{Я + т} ^h2_{» (}⁶⁶ _»⁶⁷₎

где индексы а, р\ у пробегают два значения х, у. Поскольку должно быть R > О (энтропия возрастает), то коэффициенты (fli> 42. мз» Не» ^хи» ^х±> У положительны и, кроме того,

Ш5>г\1 (41,6)

Таким образом, нематическая среда характеризуется всего девятью кинетическими коэффициентами: пятью коэффициентами вязкости, двумя коэффициентами теплопроводности, коэффициен­том v (тоже имеющим размерность вязкости) и бездиссипативным безразмерным коэффициентом А..

Число фигурирующих в уравнениях движения коэффициентов вязкости уменьшается в важном случае, когда движущуюся жид­кость можно считать несжимаемой (для чего ее скорость должна быть мала по сравнению со скоростью звука). Уравнение непре­рывности несжимаемой жидкости сводится к равенству div v = = vu — 0. В тензоре напряжений (41,4) второй член выпадает вовсе, а третий принимает вид const. b_ih (nin_mVi_m). Замечаем, что последний член не дает вклада в диссипативную функцию (он выпадает при образовании произведения о«и«, поскольку 1>,д.6,й =» — ^vkh — 0)- Кроме того, он имеет такую же тензорную структуру, как и член —pb_lk в полном тензоре напряжений a_ik. Между тем, в гидродинамике несжимаемой жидкости давление выступает (наряду со скоростью) просто как одна из неизвестных функций координат и времени, определяемых в результате решения урав­нений движения; оно не является здесь термодинамической вели­чиной, связанной с другими подобными величинами уравнением состояния. Поэтому члены —pb_ik и const b_ik (п_гп_ту_гт) в тензоре напряжений можно объединить друг с другом, что сводится просто к переопределению давления. Таким образом, вязкий тензор напряжений несжимаемой нематической жидкости сводится к вы­ражению

Он = 2x\iv_ik + (Лз — 2m) (nitiiVki -f- n_kniVu) -f-

+ (Л₂ + Hi - 2т]₃) щщщпггр_lmi (41,7)

(где f}₂= Лг + 45—2т]₄) и содержит всего три независимых коэф­фициента вязкости. Соответствующая диссипативная функция (ось г вдоль п):

2R = 2ТЦ (v_a& — -j- 6ajSf_w)² + f[₂V% + 2пзУа₂ +

+ ±.\ъ(д_аТГ + х_±(д*ТГ}+-у Л⁸ (41,8)

(напомним, что v_aa + v_zz = 0); положительность коэффициента t]₂ обеспечивается неравенством (41,6).

Задача

Определить силу, действующую на прямолинейную дисклинацию (о индек­сом Франка п = 1), движущуюся в перпендикулярном ее оси направлении (Н. Imura, К. Okano, 1973).

Решение. Рассматриваем дисклинацию в системе координат, где она покоится (и совпадает с осью г), а жидкость движется с постоянной скоростью v вдоль оси х. Распределение п (г) в дисклинации в этой системе стационарно и дается формулами (для дисклинации с радиальными «линиями тока директора», рис. 27, а)

п_х = cos <р, п_у = sin ф,

где полярный угол ф = arctg (у/х). В уравнении (40,3) имеем daldt = 0 и = 0 (ввиду однородности потока),.так что остается

да h дх y

Отсюда находим для возникающего в результате движения слабого молекуляр-ного поля

где v — единичный, вектор в направлении оси г (в отсутствие движения молеку­лярное поле h = 0, так как неподвижная дисклинация представляет собой рав­новесное состояние среды). Диссипативная функция

(х* + у*)*

Энергия, диссипируемая в единицу времени (и отнесенная к единице длины линии дисклинации), дается интегралом

_J

2R dx dy = n-pPL, L = In (R/a),

где R — поперечные размеры области движения, а а — молекулярные размеры. Эта Диссипация должна компенсироваться работой of, совершаемой действующей на дисклинацию силой f. Отсюда находим

Для дисклинации с круговыми линиями тока (см, рис, 27, б) получается такой же результат,