*) Это уравнение может быть представлено в эквивалентном виде

выражающем постоянство переносимой частицами жидкости энтропии, отнесенной к единице массы.

Щн = хцЯ,-п⁵⁴ -f Xj. (6ik — п_сп_к), (40,10)

где и ц и х_х описывают теплопроводность в продольном и попе­речном (по отношению к п) направлениях.

Закон сохранения энергии в гидродинамике выражается уравнением вида

^{4-[-^l+£]+divQ = 0, (40,11)}

где Е — плотность внутренней энергии, a Q — плотность потока энергии. Плотность энергии Е = Е₀ -f E_d, где £„ (P. S) отно­сится к недеформированной, однородной среде, а энергия E_d свя­зана с искажением поля п (г). Согласно сказанному в конце § 36 величина E_d совпадает со свободной энергией F_d (36,1), с той лишь разницей, что модули упругости К\, Кг, Ks подразу­меваются выраженными через плотность и энтропию, а не тем­пературу.

Закон сохранения энергии содержится, конечно, в уравнениях движения. Мы же воспользуемся им для установления связи между введенными выше функцией R, тензором a_ik и вектором N.

Раскроем производную по времени в уравнении (40,11) с уче­том термодинамических соотношений

{'ж)_Р,и^==Т' (~|r)s,n ^{= ,A}' где р — химический потенциал ⁵⁵). Имеем

dt ^£J ~ 2 ^T+P^v dt +^1Г+ ¹ dt + V dt )_P,s-

(40,12)

Рассмотрим отдельно последний член. Введя обозначение n_ki из (36,6), пишем

/ дЕ_л \ ( dE_d \ Jnt, , dn_t \~dT)p.S⁼⁼ \~ЗпТ)_р,8~дГ + ST ⁼

(вместо Н здесь написано h, поскольку продольная часть Н сразу выпадает ввиду равенства ndn/dt = 0). Подставив сюда dn/dt из (40,3), пишем:

(цг )_{р s} = (о⁵⁶ d_hn_t + Q_ikn_h - Xv_thn_h) А, - Nh + div (• • •)и после выделения еще одной полной дивергенции;

(T)_p,_s = -^Gv-T^{/l2 + div(}-'-)' ⁽⁴⁰'¹³⁾

где

G_t = - h_hd_tn_h -f- -±-d_h (n,h_h — n_kh_t) — -^-d_h (n_th\ + n_hh_t). (40,14)

Здесь и ниже мы не выписываем полностью выражение под зна­ком дивергенции с целью уменьшения громоздкости формул1 Эти члены (к которым мы вернемся еще в конце параграфа) не существенны для решения поставленного вопроса. Выражение (40,14) можно представить в виде

Gt^dboti + frE&.s, (40,15)

где

а\ь = — n_ki ditii — ~ (tiih_k + n_khc) + (n_ch_k — n_kh_t). (40,16)

При преобразовании использовано равенство

дЕ

(diE_d)_p, _s = d_tn_h + n_lh d_t d_tn_h.

Определение тензора ofk неоднозначно! выражение (40,15) не изменится при добавлении к ofy любого слагаемого вида di%_tt_h, где Хин — произвольный тензор, антисимметричный по послед­ней паре индексов (%_tlk = —Хотя тензор (40,16) не симме­тричен, он может быть приведен к симметричному виду прибавле­нием члена указанного вида с надлежащим образом подобранным тензором %u_h. Фактическое проведение этой, довольно громоздкой, операции отложим до конца параграфа, а сейчас продолжим вывод уравнений движения, предполагая симметризацию 0$ уже произведенной.

Подставив (40,15) в (40,13) и выделяя в одном из членов пол­ную дивергенцию (с учетом симметричности o\^r_k^}), получим ⁵⁷)

(-^-)_pS=-Nh + a|^-(a^)p,_s^+div (...)• (40,17)

Наконец, подставим в (40,12) фигурирующие там производные по времени из (40,5), (40,7—8) и (40,17), причем частную (при по­стоянных р и S) производную от Е выразим через полную произ­водную согласно

§ 403

уравнения движения нематиков

213

После ряда преобразований (выделения полных дивергенций) получим в результате

4- [-т⁵⁸ +^Е]=-^а«°'* -^Nh+4-^qVT+^2R+^div(*'

(40,18)

где offe связано с а« формулой

^{а« = - рЬ}_1к ^{+ аЯ> + а«, (40,19)}

а давление введено согласно его термодинамическому опреде­лению;

р = рр — Е + TS (40,20)

(рр> == Ф — термодинамический потенциал единицы объема ве­щества); как и должно было быть, им определяется изотропная часть тензора напряжений.

Сравнив (40,18) с уравнением сохранения энергии (40,11), мы видим, что

2R = a'ikVik -f- Nh - -jr qV7\ (40,21)

Эта функция определяет вызванное диссипативными процессами увеличение энтропии. Ясно поэтому, что введенный в (40,19) тензор oik представляет собой диссипативную («вязкую») часть тензора напряжений. Тензор же crj^ в (40,21) не входит; он пред­ставляет собой недиссипативную (помимо связанной с давлением) часть тензора напряжений ⁵⁹), специфическую для нематической (в отличие от обычной) жидкости.

Обратим также внимание на то, что в диссипативную функцию не входит коэффициент к. Хотя описываемый этим безразмерным коэффициентом эффект имеет явно кинетическую (а не термодина­мическую) природу, он не диссипативен ⁶⁰).

Плотность объемных сил в движущейся нематической среде

^{Ft = - d}_iP ^{+ дно® + dko'i}_k ^{= - dtp + FP + F'}_t^.

В неподвижной равновесной (хотя и деформированной) среде F' = 0, а согласно условию равновесия (36,7) и h = 0. Согласно (40,14—15) при этом еила

^{F('> = - (V£}_d⁾_p^. _s^{, F= — V> — (V£}_d⁾_p^, _s^.

Если считать модули упругости постоянными, не зависящими от р и S величинами, то (V£_d)p,_s = VE_d и тогда сила F = = —V (р -f- Е_а). Но в равновесии должно быть также и F = 0.

Отсюда следует, что (в указанном предположении) .распределение давления вдоль находящейся в равновесии нематической среды дается формулой ^х)

р = const — Е_А. (40,22)

Произведем теперь в явном виде упомянутую выше операцию симметризации тензора о$■ Прежде всего, вычислим в явном виде антисимметричную часть этого тензора. При вычислении разности а$ — oi? надо учесть, что выражение

B_lh = -Цг- Ч + я» d_tn_h - n_kl a,n,

симметрично по индексам i, k. Проверить эту симметрию непо­средственно нелегко. Проще сделать это косвенным путем, вос­пользовавшись тем, что энергия E_d — скаляр и тем самым инва­риантна относительно произвольных вращений системы коорди­нат. При бесконечно малом повороте на угол б<р координаты пре­образуются как

г' = г + 6г, бг = [бф-г],

т. е.

ox_t = 8_(ft%, &_ih = е„_л8ф_г = — 8_ft,.

Для изменения вектора п и тензора d_fen, имеем соответственно бл, = в„п„ 6 (d_hn_t) - е,_г d_hn_t -f e_ft; <Э_гл,.

Инвариантность функции Е_й при этом повороте означает, что B_ihe_lh — 0. Поскольку e,_ft — произвольный антисимметричный тензор, то отсюда следует, что B_ik — симметричный тензор, что и требовалось доказать.

Имея это в виду, легко привести антисимметричную часть тензора e\^rit к виду (2,11) с тензором

Фш = n_tn_lk — П_кПц.

После этого симметризованный тензор aft} получается непосред­ственно по формуле (2,13). После некоторых приведений получим

¹) Если не делать указанных предположений, то силу F при постоянной температуре можно привести к виду F = —р Vu, так, что условие равновесия сводится к обычному р. = const. Действительно, дифференцируя выражение (40,20) для давления и учитывая термодинамическое соотношение dE = Т dS -f-+ p. dp + (dE_d)p, s, найдем — Vp = -pV(i - SVT -f (VE_d)_Pl g, откуда при T = const и получается указанное выражение для F.

~~Y^di [(Щк + я*,) Щ - n_klni — щ_гп_к]. (40,23)

41]

диссипативн ые коэффициенты нематиков 215

Отметим, что это выражение фактически содержит только попереч­ные (по индексу k) компоненты тензора n_ik. Если представить последний в виде

(так что n^fik = 0), то в (40,23) останутся только члены с пи-Наконец, вернемся к членам с полными дивергенциями, кото­рые мы до сих пор не выписывали. Сравнив (40,18) с (40,11), видим, что выражение, стоящее под знаком div в совокупности этих членов, определит собой плотность потока энергии. Приведем здесь получающийся таким образом окончательный результат:

Qi = ( № + -у) »i - n_ih \— Vi 6>й + ®ф1 + И fat — n_hn_mVi_m)\ +

1 X

4- -j- (tiih_k — n_khi) v _k + -y {ttihk + n*A<) «4 — alkVk — *ik д_кТ,

(40,24)

где W = p + E — тепловая функция. Первый член совпадает с выражением потока энергии в гидродинамике обычной жидкости.