1. Найти осесимметричное решение уравнений равновесия нематической среды в цилиндрическом сосуде без особенности на оси, отвечающее граничным условиям рис. 27, б.

Решение. Ищем решение в виде

п_г = 0, = cos х (г), Пг = sin х М с граничными условиями

Х(Д) = 0, х(0) = я/2.

Имеем

го!_фп = —cosx-^-, rot_zn = -^y^ —sinx-^-, divn = 0. Свободная энергия:

^{J 2nrF}_d ^{dr = n j {K}₂ ^{(sin X cos x — x')2 + #з cos4 x) dl.}

0 — oo

Первый интеграл уравнения равновесия:

Ktf,'* - № sin² х cos² х + К_я cos* х) = 0. Интегрирование этого уравнения приводит к результату (полагаем Kg > К₂).

# \Vl — № sin² х + a' sin х При г -*■ 0 угол х -*■ я/2 по закону

тг-*=²*'тг

Свободная энергия этой деформации R

| F$nr dr = пК_г J2 -f- -~- arcsin k\, о

между тем как свободная энергия плоской дисклинации рис. 27, б: nK^L.

2. Исследовать устойчивость дисклинации с индексом п = 1 относительно малых возмущений вида бп (ф) (С. И. Ацисцмов, И. Е. Дзялошинский, 1972).

Решение, а) Невозмущенное поле радиальной дисклинации (рис. 27, а): я_г «= 1 я<р = п_г шв 0. Возмущенное же поле пишем в виде

«, «= cos в cos ф да 1 i- (6^а + ф^а), п_ф «я cos в sin ф я» ф, ге_г = sin 0 да 6,

где углы в и ф — функции угловой координаты <р. Энергия, связанная с этим возмущением:

j Far dr d(f = j {Д:,ф'2 ₊ /(₂0'a _{+ (/(8} _ /у фа _ д^а) _d(p. Для общего исследования надо было бы положить

СО 00

е(ф)- 2 9^"», ф(_ф)= 2 ф/⁸⁽р

и выразить энергию как функцию всех 6₄, Ф₈. Но и без того сразу видно, что рассматриваемая дисклинации всегда неустойчива относительно возмущения В„ (член — Л]9§ в энергии).

б) Невозмущенное поле циркулярной дисклинации (рио. 27, б): п_г = п_г == = 0, я,, = 1. Возмущенное поле записываем в виде

п, = cos b cos (-j- + Ф^ » — Ф, п_% = cos ft sin + ф^ « 1 —

- ~ (в* -f- ф²), п_г = sin е«е

(определение угла ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соответ­ствующая энергия:

j F_dr**-*-j^{к*^(в'^{а + ф}'^{ь + ikx}~^к*^}^ ^{+ iki}~^{2кз)62}d<p-}

Наиболее «опасны» возмущения 6„ и ф₀; условия устойчивости по отношению к этим возмущениям:

Ki > K_s, Кг > 2К„.

Полученное в тексте и в вадаче 1 утверждение, что свободная энергия дефор­мации в дисклинациях с п = 1 превышае'1 энергию несингулярного осесимме-тричного решения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случае метастабильными. Теперь мы видим, что радиальная дисклинация вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) при соблюдении определенных соотношений между модулями.

3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллель­ными плоскостями, причем граничные условия на одной плоскости требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию п (г).

Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выбе­рем ее плоскость в качестве плоскости х, г с осью г перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости z = 0 и г = к). Положим

«« = sin % (г), n₂ = cos х (г). Свободная энергия деформации:

j Fa & = -y j {K_x sin» x + Kz cos* _X} X'^! a.

Первый интеграл уравнения равновесии.

(Дд sin² х + Кг cos² х) x'^z «=

откуда с учетом граничных условий

| (Ki sin⁴⁶ х + Кг cos⁴⁷ х)^1/2 d% = - J- J (Ki sfn⁴⁸ x + cos⁴⁹ x)^{1 /2} <*x. о 0

или

^{где E (x, fe) — эллиптический интеграл второго рода.}