§ 38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равновесия нематиков

Осесимметричные деформации (37,10—11) (см. рис. 27), пред­ставляющие дисклинации с индексом Франка п = 1, являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды

S 38)

несингулярное осесимметричное решение 201

_{I \И//}

1Л

i * $

\ «

_{1 v}

с заданными граничными условиями на стенках сосуда. Однако они не являются единственными решениями этих задач. Они единственны только в категории плоских решений. Если же отка­заться от предположения о расположении векторов п везде в по­перечных к оси сосуда плоскостях, то возможны и другие реше­ния, причем не обладающие особенностью на оси. Так, если гра­ничные условия требуют перпендикулярности п стенке, то линии тока директора в таком решении без особенности расположены в меридиональных плоскостях и имеют показанную на рис. 30 форму. Начинаясь на стенке нормально к ней, линии тока изгибаются, стремясь к оси г = 0, на которой, таким образом, направление п оказы­вается вполне определенным. Более того, мы уви­дим, что отсутствие особенности в таком решении приводит к его большей термодинамической вы­годности (меньшей полной упругой свободной энергии) по сравнению с решением с особенностью на оси (P. Е. Cladis, М. Kleman, 1972). Присту­пим к построению этого решения.

Рис. 30

Будем искать осесимметричное, однородное вдоль оси г решение в цилиндрических коорди­натах г, ф, г в виде

n_t = cos % (г), п_ф = 0, п_г = sin х (г)

(38,1)

(смысл угла х показан на рис. 30). Граничное условие на стенке:

X = 0 при г = R (38,2)

(R —- радиус цилиндрического сосуда), а на оси поставим условие

X = я/2 при г = 0, (38,3)

₌ ^__cosx^-|_

rot^n =

отвечающее, как уже указано, отсутствию особенности. Имеем

dr

divn =

1 d(rn_T) r dr

cosx

Свободная энергия деформации (на единицу длины вдоль оси г) дается интегралом

j F_d2nrdr =

Ini?

= я J {(K_asln²x+/^sC₃cos^ax)x'² + ^iCOS^ax-/<iSin2x-x'US.

(38,4)

где штрих означает дифференцирование по переменной I = = In г !).

Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)):

sin² х + К, cos² х) Х'² - #i cos²х = const. (38,5) Согласно условию (38,3) должно быть % -*■ я/2 при £ -*■—со. Очевидно, что для этого должно быть %'• -*■ 0 при % -*■ я/2; поэтому const = 0, так что

^Х U_lSin²_x + K,cos²_X)^1/2 '

Отсюда находим искомое решение, удовлетворяющее условию (38,2), в виде

In — = -Д=- ( 1Ь«*х + К,и*У _{d (38i6)}

В противоположность дисклинации (37,10) это решение не авто-модельно: в него входит размерный параметр длины R. Интеграл (38,6) выражается через элементарные функции. Выпишем ответ в предположении, что К₈ > Кг'.

г ₌ г y^^-k'sbtjv i k _{arcsin sifl} л я 1 Vl-k*sla*x +*'япх / 1 ^k >

(38,7)

^{иг _ K}_s ^{— Ki u'% _ i __ *,ss _}

При г 0 разность я/2 — х стремится к нулю пропорционально первой степени г, а линии тока приближаются к оси г по экспо­ненциальному закону г ~ exp (const*г).

Для свободной энергии, связанной с этим решением, вычисле­ние дает

r

J F_d2nr dr = я/Ci {2 + ~- arcsin . (38,8)

о

Отметим, что это выражение вообще не зависит от радиуса со­суда R. Энергия же дисклинации (рис. 27, а; решение (37,10)):

я

| F_d2nrdr = nK_xL, (38,9)

^х) Последний член в подынтегральном выражении несуществен для форму­лировки вариационной задачи, но нужен для вычисления полной свободной энергии.

§ 38]

несингулярное осесимметричное решение 203

где L = In (R/a) — большой логарифм, происхождение которого связано именно с особенностью на оси. Мы видим, что решение без особенности энергетически более выгодно по сравнению с ре­шением с особенностью (если только коэффициент Kj. не аномально мал).

Поле п (г) рассмотренного здесь осесимметричного без особен­ности решения уравнений равновесия может быть получено из поля п (г) в дисклинации с п = 1 путем непрерывной (т. е. без возникновения каких-либо разрывов) деформации — постепен­ным выводим векторов п из плоскостей г — const. Это обстоятель­ство является проявлением весьма общей ситуации, которая будет выяснена в следующем параграфе.

Задачи