§ 5, Однородные деформации

Рассмотрим несколько простейших случаев однородных де­формаций, т. е. деформаций, при которых тензор деформации постоянен вдоль всего объема тела ¹). Однородной деформацией является, например, уже рассмотренное нами равномерное все­стороннее сжатие.

Рассмотрим теперь так называемое простое растяжение (или сжатие) стержня. Пусть стержень расположен вдоль оси гик его концам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны. Эти силы действуют равномерно на всю поверхность концов стержня; сила, действующая на единицу поверхности, пусть будет р.

Поскольку деформация однородна, т. е. u_ik постоянны вдоль тела, то постоянен также и тензор напряжений o_th, а поэтому его можно определить непосредственно из граничных условий (2,9). На боковой поверхности стержня внешние силы отсутст­вуют, откуда следует, что a_ihn_k = 0. Поскольку единичный век­тор п на боковой поверхности перпендикулярен к оси г, т. е. имеет только компоненты п_х, п_у, то отсюда следует, что все компоненты o_ik, за исключением только o_zz, равны нулю. На поверхности концов стержня имеем a_zin_t = р, откуда o_zz — р.

Из общего выражения (4,8), связывающего компоненты тензо­ров деформации и напряжений, мы видим, что все компоненты Щь с i ф k равны нулю. Для остальных компонент находим

= = ^{_Т^-^р, _и„ = -L^-t-J-);?. (5,1)

Компонента и_гг определяет относительное удлинение стержня вдоль оси г. Коэффициент при р называют коэффициентом растя­жения, а обратную величину — модулем растяжения (или мо­дулем Юнга) Е:

и_гг = р/Е, (5,2)

где

Е = 9K\i/(3K + ц). (5,3)

Компоненты и_хх и и_уу определяют относительное сжатие стер­жня в поперечном направлении. Отношение поперечного сжатия к продольному растяжению называют коэффициентом Пуас­сона о ²):

') Компоненты тензора деформации как функции координат не являются вполне независимыми величинами, поскольку шесть различных компонент иц, выражаются через производные всего трех независимых функций — компонент вектора и (см. задачу 9 § 7). Но шесть постоянных величин могут быть в принципе заданы произвольным образом.

²) Обозначение коэффициента Пуассона посредством о, а компонент тензора напряжений посредством С;й не может привести к недоразумению, поскольку последние, в отличие от первого, всегда имеют индексы.

и_хх — ou_zz, (5,4)

где

⁰ 2 за; + ц ' ^1О,0>

Поскольку К и ц всегда положительны, то коэффициент Пуас­сона может меняться для различных веществ только в пределах от —1 (при К = 0) до 1/2 (при р = 0). Таким образом ¹),

—1 < о < 1/2. (5,6)

Наконец, относительное увеличение объема стержня при его рас­тяжении равно

и„ = р1К. (5,7)

Свободную энергию растянутого стержня можно написать, вос­пользовавшись непосредственно формулой (4,10). Поскольку от нуля отлична только компонента a_zz, то

F = -g~ ^игг^и — -2£- • (5,8)

В дальнейшем мы будем пользоваться, как это обычно при­нято, величинами Е н а вместо модулей /Сир,. Эти последние, а также второй коэффициент Ламэ Я выражаются через Е и а формулами

. £о Е

^Л~ (1-2о)(1 + 0) ' 2(1 + о) ' ^

к= ^Е

3 (1 — 2о) '

Выпишем здесь общие формулы предыдущего параграфа с коэффи­циентами, выраженными через Е и о. Для свободной энергии имеем

F = 27пЬг + T^to "») ' <⁵>¹⁰)

Тензор напряжений выражается через тензор деформации сог­ласно

°ih = t^tf ("'* + i — 2а ^н»⁶^) • (5-¹

Обратно;

¹) Фактически коэффициент Пуассона меняется только в пределах от О до 1/2. В настоящее время неизвестны тела, у которых было бы ег<$0, т. е. которые бы утолщались при продольном растяжении. Укажем также, что неравенству о > 0 отвечает К > 0; другими словами, всегда положительны оба члена не только в выражении (4, 3), но и в {4,1), хотя это и не требуется тер­модинамикой. Близкие к 1/2 значения а (например, у резины) соответствуют модулю сдвига, малому по сравнению с модулем сжатия.

и.* = 4" К¹ + °) Ль ^_ oo„6_JftI. (5,12)

Поскольку формулами (5,11) и (5_Г12) приходится постоянно пользоваться, выпишем их здесь для удобства в расписанном по компонентам виде:

⁰

(1+о)(1	— 2о) 1
	1
(1 + о) (1	— 2а у 1
£	1
(1 •+-<>> fcl	— 2а) 1
Е
1 4. а ызд|

'хх — л 4- п1П — 9п\ Н^ — °")^wkx Н~ ° Н~ И_2г)],

•[(I - а)и„ + «т(и« + и«)Ь

(5,13)

(5,14)

Рассмотрим теперь сжатие стержня, боковые стороны которого закреплены так, что его поперечные размеры не могут меняться. Внешние силы, производящие сжатие стержня, приложены к его основаниям и действуют вдоль его длины, которую мы опять вы­берем, в качестве оси г. Такую деформацию называют односторон­ним сжатием. Поскольку стержень деформируется только вдоль оси 2, то из всех компонент u_ih от нуля отлична только и_а. Из (5,13) имеем теперь

_ _ Еа £(1—о)

^о_хх ^{- Оуу -} _{(1 + 0)(1} ^_ _2о) ^u_i:^{, a}_zl^- _{([ + о) tl} ^_ _2о) ^{и^.}

Обозначая опять сжимающую силу посредством р (а_а — р; р отрицательно при сжатии), имеем

^_ £(1-0) Р- У³'¹^

Коэффициент при р называется коэффициентом одностороннего сжатия. Для напряжений, возникающих в поперечном направ­лении, имеем

" Охх = о_Уу = р j~. (5,16)

Наконец, для свободной энергии стержня имеем v *л 0 + а) (1-2о)