§ 37. Прямолинейные дисклинации в нематиках

Равновесному состоянию нематической среды при заданных граничных условиях не обязательно соответствует всюду непре­рывное распределение п (г), в котором вектор п имел бы в каждой точке вполне определенное направление. В механике нематиков необходимо рассматривать также и деформации с полями п (г), содержащими особые точки или особые линии, в которых направ­ление п оказывается неопределенным. Линейные особенности на­зывают дисклинациями.

Рис. 27

Возможность возникновения дисклинации можно проиллю­стрировать простыми примерами. Рассмотрим нематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности п поверхности сосуда. Естественно ожидать, что в равновесии вектор п в каждой точке будет лежать в пло­скости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис. 27, а); очевидно, что на оси цилиндра направление п будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Если же граничные условия требуют параллельности направления п стенке сосуда в пло­скостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами п, лежащими везде вдоль концентрических окруж­ностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27, б); и в этом случае направление п на оси будет неопределенным.

Эти два примера — простые частные случаи прямолинейных дисклинации. Мы рассмотрим общую задачу о возможных рас­пределениях п (г) в прямолинейных дисклинациях в неограни­ченной нематической среде. Очевидно, что распределение п (г) в такой дисклинации не зависит от координаты вдоль ее длины, так что достаточно рассматривать его в плоскостях, перпенди­кулярных оси дисклинации. Будем считать, что и сам вектор п лежит везде в этих плоскостях. Таким образом, мы имеем дело с плоской задачей механики нематиков. Некоторые общие свой­ства решения этой задачи могут быть выяснены уже из общих соображений, без рассмотрения конкретных уравнений равно­весия.

Введем цилиндрическую систему координат г, ц>, г с осью г вдоль оси дисклинации. Как уже отмечено, распределение п (г)

не зависит от координаты г. Оно не "А ^ может зависеть также и от коорди-Ая^"^ наты г, поскольку в поставленной

>6 задаче (дисклинация в неограниченной

среде) нет никаких параметров с раз-мерностью длины, с помощью которых

f могла бы быть построена безразмерная

Рис. 28 (каковой является п (г)) функция пе-

ременной г. Таким образом, искомое распределение зависит только от угловой переменной: n = п (ср).

Введем угол между п и радиус-вектором, проведенным в плоскости г = const в данную точку (рис. 28); компоненты двух­мерного (в этой плоскости) вектора п:

n_r — cos «_ф = sin ч>.

Полярный угол ф отсчитывается от некоторого избранного на­правления в плоскости — полярной оси. Введем также угол д между п и полярной осью; очевидно, что 0 = ф + г|>.

Искомое решение определяется функцией гр (ф). Оно должно удовлетворять условию физической однозначности — при изме­нении переменной ф на 2л (т. е. при обходе вокруг начала коорди­нат) вектор п должен остаться неизменным с точностью до знака {изменение знака допустимо ввиду физической эквивалентности направлений п и —п). Это значит, что должно быть

О (Ф + 2л) = Ф (ф) + 2лл,

где п — целое или полуцелое положительное или отрицательное число (значение п = О отвечает «недеформированному» состоянию n = const). Для функции -ф (ф) = ■б — ф имеем отсюда

Ф (Ф + 2л) = 2л (п — 1) + ф (ф). (37,1)

Число п называют индексом Франка дисклинации.

Уравнение равновесия (которое будет выписано ниже) опреде­ляет производную dtyldy и имеет вид

его правая сторона не содержит независимой переменной ф — как следствие того, что уравнение должно быть инвариантно по отношению к любому повороту всей системы (нематика) как це­лого вокруг оси 2 (т. е. по отношению к преобразованию q> -*■ Ф + Фо); функция / (ijj) периодична с периодом я, поскольку значения f и ф -+- я физически тождественны. Отсюда

₄> = jf(x)dx, (37,3)

о

где постоянная интегрирования выбрана так, что ф = 0 при <р = 0. Подставив это выражение в (37,1), найдем, что

л

f = -i-|/_W^ = -^-r, (37,4)

о

при пф\ (черта означает усреднение по периоду функции).

Отсюда можно сделать важное заключение о симметрии дискли­нации: при повороте всей картины на угол ср₀ = 2я/2 (п — 1) вокруг оси 2 углы ф меняются на я, т. е. все распределение остается неизменным. Действительно, с учетом периодичности функции / (ф) это преобразование приводит к тождеству

ф-(-я i)j

Ф + -^ГТ= | Hx)dx = \f{x)dx+ | f(x)dx = _V + fn.

о о м>

Таким образом, в результате одного лишь требования однознач­ности ось z автоматически оказывается осью симметрии (С_т) порядка

т = 2|п — 11, пф\. (37,5)

«Линии тока» директора определяются как линии, в каждой точке которых элемент длины dt(dl_r = dr, dl_v = г d<f) паралле­лен п. Дифференциальное уравнение этих линий:

dydl_r = п_ф/п_г,

т. е.

■aftr-tg*. (37,6)

Отсюда видно, в частности, что среди линий тока имеются прямолинейные, на которых \|з = рп (р — целое число). Эти ли­нии представляют собой 21 п — 11 радиальных лучей

^{Ф = 1/1 — 1 \Р ~ Ч>р> Ф = Ря. р = 0, 1, 2, т — 1. (37,7)}

Плоскость поперечного сечения дисклинации делится этими лу­чами на т одинаковых, повторяющих друг друга секторов.

Перейдем к конкретному построению решения для нематика, энергия деформации которого дается формулой (36,1)^х). Для плоского распределения имеем:

^{div " = -т + "Г" = 4"cos * <41 + +')»}

n rot n = О

(t|>' = dty/dqi). В свободной энергии остаются только члены с Кг и К, ⁴²):

^{J F}_d^{rdrd<? = Щ«± j (j _}_a^{cosЩ(1 + 43), a = .}

Интеграл no dr логарифмически расходится. В реальных за­дачах он обрезается сверху на некоторой длине R порядка вели­чины размеров образца. Снизу же интеграл обрезается на рас­стояниях порядка величины молекулярных размеров а, где пе­рестает быть применимой макроскопическая теория. При опре­делении интересующего нас решения на расстояниях а <^ г < R можно считать множитель

г t dr . R

L = « In —

J г а

просто некоторой постоянной, так что равновесное распределение i|> (ф) определяется минимальностью функционала

2я

^{J (1 -acos2\|;)(l +г|/44)Лр = min. (37,8)}

о

Уравнение Эйлера этой вариационной задачи:

^{(1 — a cos 2г|з) ip" = a sin 2гр (1 — ф'45). (37,9)}

Оно имеет, прежде всего, два очевидных решения:

гр = 0 (37,10)

^И гр = п/2. (37,11)

Это — осесимметричные решения, которым отвечают соответ­ственно рис. 27, а и рис. 27, б¹). Эти решения однозначны, т. е. индекс Франка этих дисклинации п = 1 (ср. (37,1)).

Для нахождения решений с пф \ замечаем, что уравнение (37,9) имеет первый интеграл²)

(1 -acos2y)0|/²- 1) = const s -Д-- 1. (37,12)

Отсюда находим решение в виде (37,3) с функцией

и ч Г 1 — a cos 2ip "1 ^!/2 ...

Константа q определяется условием (37,4)

<»-■>* Г [._:■"% г*-» №14)

о

(при этом должно быть |а|<7²<1). Эти формулы определяют искомое решение. При каждом п решение единственно: поскольку левая часть условия (37,14)—монотонно возрастающая функ­ция q, это равенство удовлетворяется лишь одним значением q. Функция f (х) четна; поэтому ср (ф) — нечетная функция. Это значит, что плоскость <р = 0 является плоскостью симметрии распределения; в силу существования оси симметрии С_т тем са­мым возникают еще т — 1 проходящих через ось г плоскостей симметрии. Наконец, плоскостью симметрии, очевидно, является плоскость 2 = 0. Таким образом, дисклинация с индексом и обладает полной симметрией точечной группы D_mft.

При п — 2 из (37,14) очевидным образом следует, что (7=1, и соответствующее решение есть просто

ф = _ф = т. (37,15)

Для выяснения качественного характера полученных реше­ний исследуем поведение линий тока вблизи радиальных лучей Ф ⁼ Фр (37,7). На этих лучах \|з = рп, а вблизи них ф « рп и функция (37,13) сводится к постоянной:

_{-&-/<*>«Ч1^Г}^в_*- ⁽³⁷_'¹⁶_>

Отсюда

ф - пр « -j- (ф - ф_р).

Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид din г , . 1 %

dq> ^{s Y} t — % ф — фр '

откуда находим для формы линий тока вблизи луча

г = consb|tp —• ф_р|\ (37,17)

Если ввести декартовы координаты с осью х вдоль луча, то вблизи последнего: г « х, ф — ф_р » ylx и уравнение линий тока запи­сывается в виде

# = const-jch-w. (37,18)

Далее надо рассмотреть различные случаи. При п ^ 3/2 имеем п — 1 > 0, и из (37,14) очевидно, что q > 0, и потому К > 0. В этом случае линии тока выходят -из начала координат, касаясь луча.

При п — 1/2 параметр q < 0, а с ним и МО. Численное исследование уравнения (37,14) показывает, что q² > 1, а потому и \К\ > 1. Из (37,18) видно, что у растет вместе с х. Область вблизи начала координат нельзя рассмотреть этим способом,

л = 5/2 л = 1/2 \\ П—1/2

- т=1 . ГО-/ «Л ГП-3

{ г\<У (с—

! i \ "---Гг.

Рис. 29

так как, согласно (37,17), при X <; 0 малым значениям ф — ф_р отвечают большие значения г.

Наконец, при п < 0 параметр —1 <g X <3 0 и, согласно (37,18), у-*-0 при дс->оо. Линии тока асимптотически прижи­маются к лучу.

На рис. 29 схематически показаны линии тока для дисклина­ции с п = 3/2, п = 1/2 и п = —1/2.