1. Определить коэффициент затухания продольных собственных колеба- ний стержня.

Решение. Коэффициент затухания колебаний со временем определя- ется как _

Р = |£мех|/2Е;

амплитуда колебаний убывает со временем пропорционально е~Н

В продольной волне в каждом малом участке стержня происходит простое растяжение или сжатие; компоненты тензора деформации

_ du_z _ ди₂

^игг — q_z , ^ихх — ^иуу — °ад ^ •

Для и_г пишем и_г — щ cos кг cos со/, где

к — —j~=r. V £_ад/р

Вычисления, аналогичные приведенным в тексте, приводят к следующему вы­ражению для коэффициентов затухания:

Со* ( ц щ — №f щ иГрга*

^Р 2р [ 3 (с]-с))с] ⁺ (с² - с²) (Зс² - 4с²) ⁺ 9С²

Вместо 2з_ад> о"_ад мы ввели здесь скорости с\, с% согласйо формулам (22,4).

2. То же для продольных колебаний пластинки.

Решение. Для волн с направлением колебаний, параллельным напра­влению волны (оси х), имеем следующие отличные от нуля компоненты тензора деформации:

„ _ ^ди_х _ о_ад ди_х

^Uxs ЫГ' " дх~

(см. (13,1)). Скорость распространения этих волн равна Вычисление приводит к результату:

со⁸ } 2р \

т| Щ + ^4с/ - ^&с№ Щ иГкУ (1 + о_ад)²

з сИ(^с!-^с?) ^СН^С/-^С?) ^9ср

Для волн с направлением колебаний, перпендикулярным направлению волны, чц = 0 и затухание обусловлено одной только вязкостью tj. Коэффициент затухания для таких случаев всегда определяется формулой

Р = t]C0²/2pcf.

К этим случаям относится также и затухание крутильных колебаний в стержни.

3. Определить коэффициент затухания поперечных собственных колебаний стержня (с частотами, удовлетворяющими условию to 3> %/h^z, h — толщина стержня).

Решение. Основную роль в затухании играет теплопроводность. Со­гласно § 17 имеем в каждом элементе объема стержня

_ * _ ^х

^uzz—> ^ихх — ^иуу *=—°ав

(изгиб в плоскости х, г); при со > %/№ колебания адиабатичны. При слабом из­гибе радиус кривизны R = \1Х", так что

и_н = (1 - 2а_ад) хХ"-

(штрих означает дифференцирование по г). Наиболее быстрое изменение тем­пература испытывает в направлении поперёк стержня; поэтому (VT)² я* (дТ/дх)*. С помощью (34,1) и (34,2) получаем для средней диссипации энергии во всем стержне

^{9С|— J}

(S — площадь сечения стержня). Среднюю полную энергию можно найти как удвоенную потенциальную энергию:

£ад/„ \x^dz.

Окончательно получим для коэффициента затухания

Р = .

18/..С²

4. То же для поперечных колебаний пластинки.

Решение, Согласно (11,4) имеем в каждом элементе объема пластинки

"»~ 1-ст_ад дх²

(изгиб в плоскости*, г). Диссипацию энергии находим по формулам (34,1) и (34,2), а полную среднюю энергию — удваивая выражение (11,6). Коэффициент зату­хания равен

2хТа?Е_ал 1 + д_ад _ 2хГ«²р (Щ — 4с²)² с^{2 Р}- ЗС²А² 1-Оад ЗС²/.² ' (c\-c\)cl '

5. Определить изменение собственных частот поперечных колебаний стерж- вя, связанное с неадиабатичностью колебаний. Стержень имеет форму длинной пластинки толщины h. Поверхность стержня предполагается теплоизолиро- ванной.

Решение. Пусть Т_ад (х, t) есть распределение температуры в стержне при адиабатических колебаниях, а Т (х, f) — истинное распределение темпера­туры в нем (х — координата вдоль толщины стержня; изменением температуры вдоль плоскости у, 2 пренебрегаем как более медленным). Поскольку при Т = = Гад теплообмен между отдельными участками тела отсутствует, ясно, что уравнение теплопроводности должно иметь вид

±-<Т-Т 1 - у *^Т dt ^{1 ад}' ~ ^Х дх» '

При периодических колебаниях с частотой со отклонения т_ад = Г_ад — Го, 1 •=» Г — Г₀ температуры от своего равновесного значения Г_в пропорциональ-вы е~*®^{, и мы имеем

(штрих означает дифференцирование по х). Поскольку т_ад, согласно (34,2), иропорционально иц, а компоненты Щъ пропорциональны х (см. § 17), то т_ад =

— Ах^ где А — постоянная, которую нет надобности вычислять (она выпадает из окончательного ответа). Решение уравнения

. , (СО 1(0 .

А т = Ах

г х

с граничным условием т' == О при х = dzh/2 (поверхность стержня теплоизоли­рована) есть

1=ид-)- '-"+<> К^-

Момент M_v сил внутренних напряжений в изогнутом стержне (изгиб в пло­скости хг) складывается из изотермической части My _го (момент при изотермиче­ском изгибе) и из части, связанной с неравномерной нагретостью стержня. Если М_у ад есть момент при адиабатическом изгибе, то при не вполне адиабатическом процессе дополнительная часть момента уменьшается по сравнению с величи­ной My _ад — М_у до в отношении

Й/2 1 ft/2

l-r-f(e)™ J xxdzj J rt_&ndz.

—ft/2 / —ft/2

Определяя при произвольной частоте со модуль Юнга Е_т как коэффициент про­порциональности' между. Му и IglR (см. (17,8)) и замечая, что Я_ад— Е — = Е*Та?1$Ср (см. (6,8); Е — изотермический модуль Юнга), можем написать:

= +/(а>)]Я»-^Г<*

9С_Р

Вычисление дает для ? (со) выражение

... 24 / kit _t kh \

При со ->оо получаем, как и должно было быть, 1=1, так что Е_х = £_ад, а при со ~>- 0 / = О и Е₀= Е.

Частоты собственных колебаний пропорциональны корню из модуля Юнга (см. задачи 4—6 § 25). Поэтому имеем

где со„ — значения собственных частот при полной адиабатичности колебаний. Это с» комплексно. Разделяя действительную и мнимую части (со = со' -f- ф), получаем окончательно для собственной частоты

»' = со_с £

j ЕТа? 1 sh | — sin g

ЗС_Р g» chl-f-coslJ

и для коэффициента затухания

2£Га*х г 1 sh g + sin | 1 ^Р~ ЗС_рй* |/ | chi + cosU'

где введено обозначение g = h (со₀/2х)^1/2.

При больших значениях £ частота со стремится, как и следовало, к со,, а коэффициент затухания к

Р = 2ЕТа\1ЪС_р№ в согласии с результатом задачи 3.

а коэффициент затухания