§ 30. Распределение взаимодействующих дислокаций

Рассмотрим совокупность большого числа одинаковых прямо­линейных дислокаций, расположенных параллельно друг другу в одной и той же плоскости скольжения, и выведем уравнение, определяющее их равновесное распределение. Пусть ось z па­раллельна дислокациям, а плоскость х, z совпадает с плоскостью скольжения.

Будем для определенности считать, что векторы Бюргерса дислокаций направлены вдоль оси х. Тогда сила, действующая в плоскости скольжения на единицу длины дислокации, равна Ьо'ху, где а_ху — напряжение в точке нахождения дислокации.

Напряжения, создаваемые одной прямолинейной дислока­цией (и действующие на другую дислокацию), убывают обратно пропорционально расстоянию от нее. Поэтому напряжение, созда­ваемое в точке х дислокацией, находящейся в точке х', имеет вид bDl(x—х'), где D — постоянная порядка величины упругих модулей кристалла. Можно показать, что эта постоянная D > 0, т. е. две% одинаковые дислокации в одной и той же плоскости скольжения отталкиваются друг от друга (для изотропной среды это показано в задаче 3 § 28).

Обозначим посредством р (х) линейную плотность дислокаций, распределенных на отрезке (а_г, а₂) оси х\ р (х) dx есть сумма векторов Бюргерса дислокаций, проходящих через точки интер­вала dx. Тогда полное напряжение, создаваемое в точке х оси х всеми дислокациями, запишется в виде интеграла

^o_xu^{(x) = ~D J-PSLt. (30,1)}

а,

Для точек внутри самого отрезка (a_lf a₂) этот интеграл должен пониматься в смысле главного значения для того, чтобы исклю­чить физически бессмысленное действие дислокации самой на себя.

Если в кристалле имеется также и плоское (в плоскости х, у) поле напряжений (х, у), созданное заданными внешними нагрузками, то каждая дислокация будет находиться под дей­ствием силы b (а_ху + р (х)), где мы обозначили для краткости р (х) — о_Ху (х, 0). Условие равновесия заключается в обращении этой силы в нуль: а_ху + р = 0, т. е.

Jj^_eJ!W__5e(jc)f (ЗОД8)

где главное значение обозначено, как это принято, перечеркну­тым знаком интеграла. Это — интегральное уравнение для опре­деления равновесного распределения р (х). Оно относится к типу сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Решение такого уравнения сводится к задаче теории функций комплексного переменного, формулируемой следующим образом.

Обозначим посредством Q (z) функцию, определенную во всей плоскости комплексного г (с разрезом по отрезку (а_А, а₂)), как интеграл

^Q(₂^{)=J-^-. (30,3)}

о* -

Посредством Q* (х) и Q~ (х) обозначим предельные значения Q (г) на верхнем и нижнем берегах разреза- Они равны таким же интег­ралам, взятым по отрезку (а_г, сц) с обходом точки z = я соответ­ственно снизу или сверху по бесконечно малой полуокружности, т. е.

а,

Q± _W „ J P^f _{± inpix}). (30,4)

*«

Если р (£) удовлетворяет уравнению (30,2), то главное значение интеграла равно со (х), так что имеем

Q⁺ (х) + Q- (х) ** 2ш (х), (30,5)

Q⁺ (х) — Or (х) * 2 шр (ж). (30,6)

Таким образом, задача о решении уравнения (30,2) эквивалентна задаче об отыскании аналитической функции Q (г) со свойством (30,5), после чего р (х) определяется по (30,6). При этом физиче­ские условия рассматриваемой задачи требуют также, чтобы было Q (се) = 0; это следует из того, что вдали от системы дислокаций (* ±оо) напряжения а_ху должны обращаться в нуль (по опре­делению (30,3), вне отрезка (%, о_а): а_ху (х) = —DQ (*)).

Рассмотрим сначала случай, когда внешние напряжения от­сутствуют (р (х) = 0), а дислокации сдерживаются какими-либо препятствиями (дефектами решетки) на концах отрезка (a_lt og). При со (х) = 0 имеем из (30,5): Q⁺ (х) =* —Or (х), т. е. функция Q (г) должна менять знак при обходе каждой из двух точек a_v а_г. Этому условию удовлетворяет любая функция вида где Р (?) — полином. Условие же Q (оо) = 0 фиксирует (с точ­ностью до постоянного коэффициента) выбор Р (z) = 1, так что

Я (г) = ¹ =-. (30,8)

Такой же вид будет иметь, согласно (30,6), и искомая функция р (х). Определив коэффициент в ней согласно условию

J,p®rfg = B (30,9)

(В—сумма векторов Бюргерса всех дислокаций), получим р (х) - ^В . (30,10)

Мы видим, что дислокации скапливаются по направлению к пре­пятствиям (границам отрезка) с плотностью, обратно пропорцио­нальной корню из расстояний до них. По такому же закону воз­растают при приближении к а_у или а₂ напряжения вне отрезка (а_и а₂); так, при х > %

BD

V (х — а₂) (а₂ — oj)

Другими словами, концентрация дислокаций у границы приво­дит к таком же концентрации напряжений по другую сторону границы.

Предположим теперь, что в тех же условиях (препятствия в заданных концах отрезка) имеется также и внешнее поле на­пряжений р (х). Обозначим посредством □„ (г) функцию вида (30,7) и перепишем равенство (30,5) (разделив его на QJ = —Яо) в виде Q+ (х) Q- (х) 2со (х)

Сравнив это равенство с (30,6), заключаем из него, что

a,

где P (г) — полином. Решение, удовлетворяющее условию q (со) = 0, получим, выбрав в качестве й₀ (г) функцию (30,8) и положив Р (г) = С (С — константа). Искомая функция р (х) находится отсюда по формуле (30,6) и равна

_{= ~ ^ViJxnt-a, btt)^(a.-6)(6-ai)T5r +}

а,

Постоянная С определяется условием (30,9). И здесь р (х) воз­растает при х -> а₂ (или х -> а_х) по закону (а₂ — *)~^1/!, а по дру­гую сторону препятствия возникает такая же концентрация на­пряжений.

Если препятствие имеется только с одной стороны (скажем, в точке а₂), ^т0 искомое решение должно удовлетворять условию конечности напряжений при всех х < а_г, включая точку х — а_х; при этом само положение последней точки заранее неизвестно и должно определиться в результате решения задачи. В терминах й (г) это значит, что Q (а_х) должно быть конечным. Такая функ­ция (удовлетворяющая также'и условию Q (со) = 0) получится по той же формуле (30,11), если в качестве й₀ (^z) выбрать функцию

О,

тоже относящуюся к виду (30,7), и положить в (30,11) Р (г) = 0. В результате получим

(30,13)

При х-+а_х р (х) обращается в нуль как У х — а_х. По такому же закону стремится к нулю с другой стороны точки а_х полное на­пряжение а_ху (х) -f- р (х).

Наконец, пусть препятствия отсутствуют в обоих концах отрезка и дислокации сдерживаются лишь внешними напряже­ниями р (х). Соответствующее Q (г) получим, положив в (30,11)

Qo(z) = Y(a₂-z)(z-a_x), 7>(z) = 0.

Однако условие Q (со) = 0 требует при этом соблюдения допол­нительного условия: произведя в (30,11) предельный переход к г со, найдем

"{ _{= Q (30) М)}

J V(^-l)(l-a_x)

Искомая функция р (х) дается формулой

^HW "^{2 V м V} 5 V(a_%-\)(l-a_x) Е-*'

(30,15)

причем координаты %, а₂ концов отрезка определяются условиями (30,9) и (30,14).

Задача

Найти распределение дислокаций в однородном поле напряжений (р (х) = р₀) на участке с препятствием на одном или на обоих концах.

Решение. В случае препятствия на одном конце (а₂) вычисление инте­грала (30,13) дает

Из условия же (30,9) определяется длина участка расположения дислокаций: о₂— а_х = 2BD/p₀. Вблизи препятствия, по другую сторону от него, напряже­ния концентрируются по закону