4. Определить деформацию вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде.

Решение. Пусть ось г направлена вдоль линии дислокации, а вектор Бюргерса: b_x = b, b_y = b_z = 0. Из симметрии задачи очевидно, что вектор деформации лежит в плоскости х, у и не зависит от г, так что мы имеем дело с пло­ской задачей. Ниже в этой задаче все векторы и векторные операции — двух­мерные в плоскости х, у.

Будем искать решение уравнения

(см. задачу 1; j — единичный вектор вдоль оси у) в виде u = и^<0> -j- w, где и<°> — вектор с составляющими

* 2л ^ф11 У 2л

(мнимая и вещественная~части от (Ь/2л) In (х + iy))\ г, ф — полярные коорди­наты в плоскости х, у. Этот вектор удовлетворяет условию (27,1). Поэтому задача сводится к нахождению однозначной функции w. Поскольку, как легко убе­диться,

divu⁽⁰'=0, Au⁽⁰⁾ = fcj6(r), то w удовлетворяет уравнению

Aw + -j—V div w = — 2b']0 (r).

Это — уравнение равновесия под действием сил, сосредоточенных вдоль оси г с объемной плотностью

^Щ Mr)

(1 + 0)

(ср. уравнение (1) в задаче к § 8). С помощью найденного в той же задаче тен­зора Грина для неограниченной среды нахождение w сводится к вычислению интеграла

8я(1— о)

о

В результате получим

Ь ( . У , 1 ху \

»^{12 =} lH^arctg-r⁺ 2(1-с) х¹³ + у¹⁴ Г

_{•{атг^от}¹¹¹ _{у¹⁵+?+ 2(1L0) -wtt)-}

"V 2л

Вычисленный отсюда тензор напряжений имеет декартовы компоненты

У(3х¹⁶ + У¹⁷) „ _hR У(х¹⁸-У¹⁹) _п __ьр х(х²⁰-у²¹)

или полярные

, „ sin ф cos ф

°Vr = °фф = — оВ —-—, о_щ = bD —у^-,

где обозначено В = р,/2я (1 — а).

5. Бесконечное число одинаковых параллельных прямолинейных краевых дислокаций в изотропной среде расположены в одной плоскости, перпендику­лярной их векторам Бюргерса, на одинаковых расстояниях h друг от друга. Найти напряжения сдвига, создаваемые такой «дислокационной стенкой» на рас­стояниях, больших по сравнению с Л.

Решение. Пусть дислокации параллельны оси z и расположены в пло­скости у, г. Согласно результатам задачи 4 суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями в точке х, у, дается суммой

, .„ V²² х^а —(» —пй)^а

Перепишем эту сумму в виде

« \ Кг, «Ч ■ - ⁹¹ Р)

,„ а Г., „. . а/ (а, в) 1 а_жг/ = -6в—^(а, Р) + а ^' ^н; j ,

где

СО

/(а, р)= _{a2 + (R}__n)a . «=T"' ^Р==Т"

Согласно формуле суммирования Пуассона

оо оо оо

П——оо ft——оо —оо

найдем

оо ОО 00

*-00 ft = l

я , 2я

^{^_2]в-2я*асо5 2я*р.}

fc=i

При а = х/А > 1 в сумме по k можно оставить лишь первый член, и в резуль­тате получим

Таким образом, напряжения убывают при удалении от стенки по экспоненци­альному закону.

6. Определить деформацию изотропной среды вокруг дислокационной петли (j. М. Burgers, 1939).

Решение. Исходим из формулы (27,10). Тензор ^шт Д^ля изотропной среды согласно (5.9) и (5.11) может быть представлен в виде

Тензор Грина для изотропной среды найден в задаче к § 8 и может быть пред­ставлен как

°» ^(R) = leW-o)* ^{(3 - ^{40) 6ik} + ^Vm)-

Здесь R = (г — г') — радиус-вектор от элемента dt' (в точке г') к точке наблю­дения деформации (точка г); v = R/R — единичный вектор в этом направлении. Подставив эти выражения в (27,10) и произведя под интегралом требуемые диф­ференцирования, получим после вычисления

^{в (r) =} _8я(7-^Д_{о) J ~h~}^{{b (v dV)+фг) di}_{' ~}^{v (b dV)}+}

8я (1 — a)

^SD

\~~v(bv)(ydi'). (1)

Стоящие здесь интегралы можно выразить через интегралы по контуру D — по петле дислокации. Для этого замечаем следующие формулы:

^{(j)-i-[bdl']= j -^-{(bv)df' —v(bdf')},}

D ^SD

^{<^[bx]d\'=- J_L{bdf' + (bv)(vdf')}.}

D ^SD

Интегралы в правых частях равенств получаются из контурных интегралов в левой стороне применением теоремы Стокса, согласно которой преобразование осуществляется заменой dV -*■ [df'-V'J (где V' = д/дт'); поскольку подын­тегральное выражение зависит только от разности г — г', это преобразование эквивалентно замене dl' ->— [dt'-y] (где V = d/dr). Введем также телесный угол Q, под которым петля D видна из точки наблюдения, согласно определе­нию

Тогда поле смещений представится в виде

_{■ « "} ^Ь _{ЧЗГ + "4Т §-W}^{[Ъ Л}_'^] _{+ ШЙГ=^)}^V _Ф^{(lbv] dV)}_-

D D

Неоднозначность этой функции заключена в первом члене — угол Q меняется на 4я при обходе вокруг линии D.

Вдали от петли выражение (1) сводится к

" » « " te/l-a)!!' ^{§ ^ + ^{Ь (SV)} - ^{V (Sb)}} + to(lio)j?«^{(sv) v}-Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (27,11—12).