1. Написать дифференциальные уравнения равновесия для дислокацион- ной деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения

Решение. В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид: да^/дх^ = 0 или, подставив С(ь .из (5,11):

dx_h ^ 1— 2о дх_г ^(l>

Но при переходе к вектору и надо учесть дифференциальное условие (27,6). Умножив (27,6) на е^п и упростив по I, k, получим ^г)

Переписав (1) в виде

1 Dwlh 1 баям а дшп

2 дх_к ~⁹~ 2 dx_ft 1— 2а их, ~ и подставив сюда (2), находим

Переходя теперь к и, согласно (27,2), находим искомое уравнение для неодно­значной функции и (г) в виде

^Ди+ t J.2g Vdivu=[xb]6(l). (3)

Решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27.1).

2. Определить деформацию вокруг прямолинейной винтовой дислокация в изотропной среде.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты z, г, ф с осью г вдоль линии дислокации; вектор Бюргерса: Ь_х — Ь_ч — <3, b_z — Ь. Из соображений симметрии очевидно, что смещение а параллельно оси 2 и не зависит от коор­динаты z. Уравнение равновесия (3) задачи 1 сводится к Ьм_г = 0. Решение, удовлетворяющее условию (27,1) ¹⁰):

У тензоров «jft и отличны от нуля лишь компоненты

_ b цЬ

^К2Ч,~"4ЙГ' ^СТг,Р-"2НГ'

так что деформация представляет собой чистый сдвиг.

2) Напомним формулу

*ilm^eik.n = &lk&mn — din4ot&<

Свободная энергия дислокации (на единицу ее длины) дается интеграломлогарифмически расходящимся на обоих пределах. В качестве нижнего предела следует взять величину порядка атомных расстояний (—Ь), на которых дефор­мация велика и макроскопическая теория неприменима. Верхний же предел определяется размерами порядка длины L дислокации. Тогда

4я о

Энергию же деформации в «сердцевине» дислокации вблизи ее оси (в области с площадью сечения —б²) можно оценить как —рб². При In (Lib) ~S> 1 эта энер­гия мала по сравнению с энергией поля упругой деформации ¹).

3. Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг вин­товой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла.

Решение. Выбираем систему координат х, у, г так, чтобы ось г совпа­дала с линией дислокации (и снова пишем Ь_г = Ь). Вектор и опять имеет лишь компоненту и_г= и (х, у). Так как плоскость х, у является плоскостью симме­трии, то равны нулю все компоненты тензора ^шт. У которых индекс г встре­чается нечетное число раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора а^:

°"xz — ^xzxz —q^ г f-xzyz ~~fiy~i »

r, — i to . . ди

°yz — Kyzxz -fa- "Г ^yzyz —q^- •

Введем двухмерные вектор о и тензор Я_ар: а_а = cr_az, Я,_ар = Я_а2р_г (а = 1, 2). Тогда

а уравнение равновесия записывается в виде div о = 0. Искомое решение этого

уравнения должно удовлетворять условию (27,1); (j) Vu d\ = b.

В таком виде задача совпадает с задачей о нахождении индукции и напря­женности магнитного поля (роль которого играют а и V«) в анизотропной среде (с магнитной проницаемостью Я_ар) вокруг прямолинейного тока, сила которого / = cblin. Воспользовавшись известным из электродинамики решением этой задачи, найдем

0"а_г = '

2" ]f\X\X-}_&,x_a,_Xfi,

где — определитель тензора А,_ар (см. VIII, задача 5 к §30).