2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены, Решение. В обоих случаях

/ Е \1/2 п

^а={т) -^п-

3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины /). Решение. Уравнение движения струны:

д*Х pS д*Х дг* Т dt*

(ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: Х=0 при г=0, I, Собственные частоты:

/ pS \i/2 пп

4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня qwh? ны Л с заделанными концами.

Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него

X = Х₀ (г) cos (со/ + а)

приобретает вид

dz* ~" Е1_и

Общий интеграл этого уравнения есть

Х₀ = A cos кг + В sin xz -f- С ch xz -f- D sh xz.

Постоянные Л, В, С, D определяются из граничных условий X — О, dX/dz = О при z = 0, /. В результате находим

Х₀ = A {(sin и/ — sh xl) (cos kz — ch xz) — (cos xf — ch xl) (sin xz — sh xz)}

и уравнение

cos xl ch x/ = 1,

корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна

_ 22,4 Е1_У tOmin-—j5--j5g-»

5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат:

X_Q = Л sin хг, а частоты определяются из sin х/ = 0, т. е.

х =— (п=1, 2, ...).

^min ^:

Наименьшая частота есть

9,87 E/_g

I² pS

6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом. Решение, Получаем для смещения

Х₀ = A {(cos xl -f ch xl) (cos xz — ch xz) + (sin xl — sh x/) (sin xz — sh xz)J

(закрепленный конец z = 0, свободный z = l), и уравнение

cos х/ ch xl + 1 = О

для собственных частот. Наименьшая частота есть

3,52 Ely <Отш--р pg-.

7. Определить собственные колебания прямоугольной 'пластинки (длины сторон а и ь) с опертыми краями.

Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него

£ = £о (х, у) cos (co< -f- а)

приобретает вид

12р(1 — а²)

ДД£о — x⁴?₀ = 0_s х» = со²

Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид

8*1

при х=0, а: £ = О, -^§- = 0;

при у = 0, Ь: £ = 0, -^=0.

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

„ . . тлх . плу £о = A sin sin-

а, Ь

со =

(т, п — целые числа), причем частоты определяются равенством

Eh

12р (1 — о²)

8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ft).

Решение. Уравнение колебаний мембраны

Т Д£ = pftjj

(ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что £ = 0. Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть

_v . . тлх . плу ,

£ = A sin sin —г²- cos ш,

где собственные частоты

. Т , / т^а ■ л² \

ph

(m, п — целые числа).

9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стерж­ням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки.

Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции / = = nR*/2; взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение (р-/р)^1/2, совпа­дающее СО СКОРОСТЬЮ Cf.

Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость

lab d' + b* ^Ct'

для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника

3 V/2

/ 3 у/2

для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки

Все эти скорости меньше cj,

10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверх­ностном слое жидкости,

Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости г = О, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют г< 0. Уравнение движения свободной пластинки есть

(р₀ — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на 1 см² поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством р = —р ду/dt (полем тяже­сти пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение

. д\ _п д% 3_Ф

2=0

Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие

dt дг

<²>

г=0

Потенциал ф должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению

^L^-^L-O. (3)

дх* ' дг*

Ищем £ в виде бегущей ролны £ = ^е^{кх'^ш; соответственно этому берем ре шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны

Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для ф₀ и So, из условия совместности которых получаем

D

(Р + hp₀k)