2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональ- ной системы.

Решение. Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 § 10), для которых введем обозначения:

Ххххх ⁼ ^"uvvv ^{= а}' ^хуху ⁼ ^> Х_ххуу = а 2Ь,

Xxxzz = X_yyzz — с, Х_хгхг = Xy_zyz — d, X_zzzz = f.

Ось z направлена по оси симметрии шестого порядка, направления же осей х, g могут быть выбраны произвольно. Выберем плоскость xz так, чтобы в ней лежал волновой вектор к. Тогда k_x = k sin 6, k_y == 0, k_z — k cos 9, где 9 — угол ме­жду к и осью z. Составляя уравнение (23,3) и решая его, найдем

рсо? = ft² (6 sin² 9-f-d cos² 9),

pcof ,з = V26² {a sin² 6 + /cos² 9 + d ±

± [{(a- d) sin² 9 + (d - f) cos² 9)² + 4 (c +. df sin² 6 cos² б]¹'²}.

При в = 0 имеем

pco|_l2=fe4 pal = k^rf; волна 3 продольна, волны 1 и 2 поперечны.

§ 24. Поверхностные волны

Особым видом упругих волн являются волны, распространяю­щиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее — волны Рэлея (Rayieigh, 1885).

Напишем уравнения движения в виде (22,11—12)1

-|^-£²Лы=0 (24,1)

(где и — какая-либо из компонент векторов щ, щ, а с — соответ­ствующая ей скорость Ci или с_г), и будем искать решения, отве­чающие поверхностным волнам. Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости х, у\ области среды пусть соответствуют z < 0.

Рассмотрим «плоскую» монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси х\ функция и {£, х, г) в ней имеет вад

где функция / (г) удовлетворяет уравнению /" = и²/; введено обо­значение

х = (&² - ©Ус²)'/*. (24,2)

Если к? — со²/с² < 0, то / (г) — периодическая функция, т. е. мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезающую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что № — ъ>Ус² g> 0, и % — ве­щественное число. Уравнение имеет решения вида ехр (±хг); из них надо выбрать то, которое затухает при z~> — со.

Таким образам, мы приходим к следующему решению уравне­ний движения:

U = Const ё (к*-Ы)#а_ш (24,3)

Оно соответствует волне, быстро (экспоненциально) затухающей внутрь тела, т.е. распространяющейся только вблизи его поверх­ности. Величина к определяет скорость этого затухания.

Истинный вектор деформации и в волне является суммой Еекто-ров щ и щ, компоненты каждого из которых удовлетворяют урав­нению (24,1) со скоростью с = c_t для щ м с — c_t для щ. В случае объемных вола в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозмож­ным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов щ и и_{. По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла

i 24i

поверхностные волны

135

параллельных и перпендикулярных к направлению распростра­нения компонент смещения.

Для определения линейной комбинации векторов щ и щ, даю­щей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором к и частотой со, а следовательно, и скорость распростра­нения волны. На . свободной поверхности должно выполняться условие a_thn_h — 0. Поскольку вектор нормали п направлен по оси г, то отсюда следуют условия

О_хг = Oyt = O_zz = О,

откуда

= 0» и»* = 0, о (и_хх + и_т) -f (1 - а) u_zz = 0. (24,4)

Поскольку все величины не зависят от координаты y_t то второе из этих условий дает

„ _ ¹ ( ^диу . Л!кЛ — А.^диу — п ^и»^г ~ 2 \~дГ ду ) ~ 2 ~Ы

С учетом (24,3) отсюда следует

а_и = 0. (24,5)

Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации и ле­жит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности.

«Поперечная» часть волны щ должна удовлетворять условию (22,8) div щ = 0, или

дх ' дг

Ввиду (24,3) это условие приводит к равенству

iku_tx+ щи_и = 0, определяющему отношение u_tx!u_tz. Таким образом, имеем

^ut_x — ^Kt^{a е}^Р (ikx + x_tz — Ш),

«_(i =—i&a exp (ikx -\- щг — t©^)> (24,6)

где a — постоянная.

«Продольная» часть и_г удовлетворяет условию (22,9) rot и, = = 0, или

дщ_х дм(_г

= 0,

дг дх

откуда

iku_u — KiUtx = 0, к* = (k² — со²/с²)^1/2. Таким образом, должно быть

щ_х = kbe^+^f-^, и_1г = —щЬ^^кх^\^г-^ш, (24,7) где 6 — постоянная.

теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24,4). выражая u_ih через производные от ы_г и вводя скорости с_г и Ct, переписываем эти условия в виде

ди_х , ди_г _ _n

дг *+* дх — ^U* _П4

я я (24,8

с^₊(с²-2с?)-^-==0.

сюда надо подставить

^на = ^и1х + ^мг = ^и1г 4" ^и«г«

в результате первое из условий (24,8) дает уравнение

а(й² + к?) + 2ьлк_/ = 0. (24,9)

второе приводит к равенству

2ас]щк + Ь [с] (к? - £²) + 2й?*²] = о,

или

2an_tk + + *?) = 0- (²⁴.^,0)

условие совместности двух однородных уравнений (24,9) и (24,10) дает

^{(a» + K?)8 = 4ftW/,}

или, возведя в квадрат и подставив значения щ, щх

!«*■(* ~!•). (24,1.)

этим уравнением определяется связь между со и &. очевидно, что со = const -k; для определения коэффициента пропорциональ-ности^ напишем это соотношение в виде

со = еМ. (24,12)

тогда общий множитель k^B сокращается и, раскрыв скобки, полу­чим для £ уравнение

r-8^+8|^3-2-|j-16(l—|j =0. (24,13)

отсюда видно, что число £ зависит только от отношения Cttct, яв­ляющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента пуассона!

с) ~ 2 (1 — а) *

величина £ должна быть, разумеется, вещественной положи­тельной, причем | < 1 (так, чтобыщ, небыли вещественны). урав­нение (24,13) имеет только один корень, удовлетворяющий этим

условиям, так что для каждого данного значения c_tlci получается всего одно определенное значение |*).

Таким образом, для поверхностных волн, как и для объемных, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент про­порциональности между ними есть скорость распространения волны

U = c_tl (24,14)

Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости c_f и с* поперечных и продольных объемных волн. Отно­шение амплитуд поперечной и продольной частей волны определяется по значению £ формулой

2-Е²

2^1-й²

(24,15)

Отношение с\1с_х фактически меняется для различных веществ в пределах от lAj/2 до 0, что соответствует изменению а от 0 до 1/2; при этом | меняется от 0,874 до 0,955. На рис. 21 дан график зависимости \ от с.

Задача

Плоскопараллельный пласт толщины h (среда /) лежит на упругом полу­пространстве (среда 2). Определить зависимость частоты от волнового вектора для поперечных волн в пласте с направлением колебаний, параллельным гра­ницам пласта.

Решение. Выберем плоскость раздела между пластом и полупростран­ством в качестве плоскости х, у, причем упругому полупространству соответ­ствуют z<5 0, а пласту h > г> 0. В пласте имеем

:/(г)е' <**-«*>,

= «п = 0,

W²

а в среде 2 пишем затухающую в глубь нее волну: ",2 = "_г2=0, «,₂= ЛW <**-«><>,

к₂ = (£² — со

Для функции f (г) имеем уравнение

(мы увидим ниже, что должно быть %\ > 0), откуда

/ (г) = В sin и_хг -f- С cos щг.

На свободной границе пласта (г = Л) должно быть о_гу = 0, т. е. ди_у1/дг = 0. На границе же между обеими средами (г = 0) имеем условия

Uyi = и_у2,

1*1

VI

ди, Тг ди.

дг

¹) При переходе от уравнения (24,11).к (24,13) теряется корень со* = 0 (щ = с= И{ = к), которому отвечает значение £ = 0, тоже удовлетаврйющее усло­вию |<$ 1. Из уравнений (24,9—10) видно, однако, что этому*корню соответ­ствует равенство а — -^Ь, и потому полное смещение u = uj -J- iij = 0, т, е. движение вообще отсутствует;

(jii, (i₂ — модули сдвига обеих сред). Из этих, условий находим три уравнения для А, В, С, условие совместности которых дает

Это уравнение определяет в неявном виде зависимость со от k\ оно имеет решения лишь при вещественных x_t и х₂, так что всегда с<₂ > со/Л > с«. Отсюда видно, что распространение рассматриваемых волн возможно лишь при условии cj₂^!> сц.