3. Определить частоты радиальных собственных колебаний упругого шара радиуса r.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара. При радиальных колебаниях и направлено по радиусу и зависит только от г (и от t). Поэтому rot и = 0. Введем «потенциал» смещения <р согласно и_г = и = = ду/дг. Выраженное через <р уравнение движения сводится к волновому урав­нению с² Дф = ф, или для периодических по времени (~е"*^и') колебаний;

_{*»--И-("£)-¹ «}

Решение, конечное во всем объеме шара, включая его центр, есть

, sin kr _{ф= А} —

(временной множитель не пишем). Радиальные напряжения:

°Yr = Р { iA ~ ²<$) «и + ^2с*^игг ) = Р { (с? - Щ ^ДЧ> + 2c?q>" }

или, использовав уравнение (1):

—а„ = —со ш — 4с;— ш • р ^{гг т 1} г ^т

Граничное условие а_гг (/?) = 0 приводит к уравнению tg kR 1

kR 1 — (kRa/2c_t)* '

(2)

(3)

Его корни определяют частоты собственных колебаний <о = с;й.

4. Определить частоту радиальных колебаний сферической полости в не­ограниченной упругой среде, для которой с; s> cj.

Решение. В неограниченной среде радиальные колебания полости сопровождаются излучением продольных звуковых волн, что приводит к потере энергии и тем самым к затуханию колебаний. При с; > cj (т. е. К > р.) это излу­чение будет слабым и можно говорить о собственных частотах колебаний с малым коэффициентом затухания.

Ищем решение уравнения (I) в виде расходящейся сферической волны

л ^еШ _h "> ф=л , k =

г С), j

и с помощью (2) получаем из граничного условия a_rr (R) = 0

Отсюда (при С\ > с₍)

Вещественная часть о дает собственную частоту колебаний, а мнимая — коэф­фициент затухания; в несжимаемой среде (с_г оо) затухание, естественно, от­сутствовало бы. Эти колебания — специфический результат сопротивляемости среды по отношению к сдвигу (р, Ф 0). Обратим внимание на то, что для них kR = 2с*/с; <; 1, т. е. соответствующая этим колебаниям длина волны велика ио сравнению с R (интересно⁴ сравнить это с колебаниями упругой сферы, для которых при с; > ct первая собственная частота определяется согласно (3) из kR = я).

§ 23. Упругие волны в кристаллах

Распространение упругих волн в анизотропной среде, т. е. в кристаллах, подчиняется более сложным закономерностям, чем распространение волн в изотропном теле. Для исследования таких волн надо обратиться к общим уравнениям движения

и воспользоваться для a_ik общим выражением (10,3)

Соответственно сказанному в начале предыдущего параграфа под kikim ^наД° везде подразумевать адиабатические значения модулей упругости.

Подставляя o_lk в уравнения движения, получаем

j dtilm Ijklm д f du_t , du_m \

1» д^щ i 1 ₁ 6%_m

— ₂ л_{Шт ajCftdjCm} -r- ₂ ^лШт ax_ftdxi "

Поскольку тензор Я_Шт симметричен по индексам / и т, то, меняя во втором члене обозначение индексов суммирования / и т на об­ратное,, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, получаем уравнения движения в виде

p^fl'=w5?fe-- (ад

Рассмотрим монохроматическую упругую волну в кристалле. Для этого мы должны искать решение уравнений движения в виде

щ = u_aie^l <^кг-^и'>

(и_т — постоянные), причем соотношение между волновым векто­ром к и частотой со должно быть определено так, чтобы написан­ная функция действительно удовлетворяла уравнению (23,1). Диф­ференцирование и| по времени приводит к умножению на—to, а дифференцирование по x_k — к умножению наi&_ft. Поэтому урав­нение (23,1) после подстановки превращается в

Написав u_t = 8_imu_m, переписываем это равенство в виде

(pco²6_im - l_ih[mk^i) и_т = 0. (23,2)

Это — система трех однородных уравнений первой степени отно­сительно неизвестных и_х, и_у, и_г. Как известно, такая система имеет отличные от нуля решения лишь при условии равенства нулю определителя коэффициентов уравнений

IWA-P»²L| = 0. (23,3)

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от> волнового вектора; об этой зависимости говорят как о законе дис­персии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсион­ным. Уравнение (23,3) — третьей степени по о»². Оно имеет три, вообще говоря, различных корня со² = со| (к) — три, как гово­рят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, урав­нения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины век­тора и, остающейся произвольной) *). Направления поляризации трех волн с одним и тем же волновым вектором к взаимно перпен­дикулярны. Это важное утверждение следует прямо из того, что уравнение (23,3) можно рассматривать как уравнение, определяю­щее главные значения симметричного тензора второго pajHra ^ihimkkki ²); уравнения же (23,2) определяют главные направле­ния этого тензора, которые, как известно, взаимно перпендику­лярны. Ни одно из этих направлений, однако, не является, вообще говоря, ни чисто продольным, ни чисто поперечным по отношению к направлению к.

Скорость распространения волны (ее групповая скорость) дается производной

U = -|£- (23,4)

(см. VI, § 67). В изотропной среде зависимость со (к) сводится к пропорциональности абсолютному значению k, и потому направ­ление этой скорости совпадает с направлением волнового вектора. В кристаллах это не так, и направление распространения волны не совпадает, вообще говоря, с направлением к. Векторы к и U кол-линеарны для некоторых исключительных направлений осей сим­метрии кристалла.

Из дисперсионного уравнения (23,3) видно, что в кристалле со является однородной функцией первого порядка от компонент век­тора к (если ввести в качестве неизвестной величины отношение ы/k, то коэффициенты уравнения не зависят от k). Поэтому ско­рость U — однородная функция нулевого порядка от k_x, k_y, k_z. Другими словами, скорость распространения волны, являясь функцией ее направления, не зависит от частоты.

^г) В изотропном теле этими ветвями являются со == cjfc (продольно поляри­зованные волны) и два совпадающих корня со == cjfe, отвечающие волнам с двумя независимыми поперечными направлениями поляризации,

Если построить в k-пространстве (т. е. в координатах k_x, k_yi k_z) поверхность постоянной частоты, to (k) = const (для какой-либо из ветвей закона дисперсии), то направление вектора (23,4) совпадает с нормалью к поверхности. Очевидно, что если эта по­верхность всюду выпуклая, то связь между направлениями U и к взаимно однозначна: каждому направлению к отвечает одно определенное направление U и наоборот. Если же поверхность постоянной частоты не всюду выпукла, то эта связь становится не взаимно однозначной: каждому направлению к по-прежнему

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ

133

отвечает (в данной ветви закона дисперсии) одно направление U, но заданное направление I) может осуществляться с различными направлениями к.

Задачи

1. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле, распространяющихся а) в кристаллографической плоскости (001) (плоскость грани куба); б) в кристаллографическом направлении [111] (направление диа- гонали куба).

Решение. В кубическом кристалле отличны от нуля упругие модули Х_ХХхх = ^i, Х_хкуу ее Х₂, Х_хуху = Х₃ (и равные им компоненты тензора с заменой индексов х, у другими из х, у, г — см. § 10); оси х, у, г направлены вдоль ребер куба.

а) Выберем плоскость (001) в качестве плоскости х, у и пусть 6 — угол между лежащим в ней волновым вектором к и осью х. Составив дисперсионное уравнение (23,3) и решив его, найдем три ветви закона дисперсии:

рсо², ₂ = V^² + Ь₃ ± [(\ - hf~ ⁴ (*i + Ц (S - h - ²h)^sln2 9 cos²Qf'²}, рш² = X^k².

Волна третьей ветви поперечна и поляризована вдоль оси г. Волны первых двух ветвей поляризованы в плоскости х, у. Из соображений симметрии очевидно, что скорость распространения U = дшдк всех этих волн тоже лежит в плоско­сти х, у, поэтому для ее вычисления достаточно полученных выражений. При 6 = 0 (к вдоль оси х) имеем

рсо? = А,]£², pcof, = X,k²,

причем волна / продольна (поляризована вдоль оси х), а волна 2 поперечна (поляризована вдоль оси у).

При 0 = я/4 (к вдоль диагонали грани куба) имеем

pcof = V, (Ч + Х₂ + 2*₃) k\ pcol = V. (Xj - Х₂) k\

Волна 1 продольна, а волна 2 поперечна и поляризована в плоскости х, у.

б) В этом случае волновой вектор имеет компоненты k_x — k_y = k_z = Решение дисперсионного уравнения дает

рш? = + 2Я₂ + 4Х₃),

Р»1,з = Vs^² (A-i — Х-2 + Х₃). Волна / продольна, волны 2 и 3 поперечны.