1) См. VI, § 66. Все изложенные там соображения полностью применимы и здесь.

sme с v > /

Пусть, например₊ падающая волна поперечна. Тогда о = c_tt есть скорость поперечных волн в первой среде. Для поперечной же отраженной водаы имеем тоже с' = ct_tt и потому (22,16) даст

0 = 8',

т. е. угол падения равен углу отражения. Для продольной же отраженной всэдны имеем с' = ct_lt и потому

s|n0 _ Cfi

su10' ~ Сц '

Для поперечной части преломленной волны имеем с' = Ct% и при поперечной ш падающей волне имеем

^{sin 9 c}_tl

sin 0' Cj₂

Аналогично двя продольной преломленной волны имеем

sin 8 cti

sine' ~ Ci_% '

Задачи

1. Определить коэффициент отражения продольной монохроматической волны, падающей под произвольным углом на границу тела с вакуумом.

Решение. При отражении под произвольным углом возникают как продольная, так и ^поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смещения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. 20; п₀, п;, щ — еди­ничные векторы вдоль направлений падающей, продольной и поперечной отраженных волн, a u₀, и;, щ — соответству­ющие векторы смещений). Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель е~^ш( для краткости опускаем)

и = ЛоПое'^к°^г -f A_tnie^iklT + A_t [ъщ] е'^к'^г

(а — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости падения). Абсолютные величины волновых векторов равны: k₀ = ki = (n/ci, ki = Wcj, а углы падения 0_o

и отражения 6;, 0* связаны посредством 0; = 8₀, sin 0( = понент тензора деформации на границе тела получаем

и_хх = ik₀ (А₀ + А{) cos² 0_О + iA_tk_t cos 0j sin 0_t, uu = ik₀(A₀ + Ai),

Cf

sin 0„ —. Для ком-

■■ ik₀ (A₀ — Ai) sin 0_O cos 6₀ —- A_tk_t (cos^a Q_t ■

- sin² 0_t)

(сбщие экспоненциальные множители опускаем). Компоненты тензора напря-»кений вычисляем по общей формуле (5,11), которую удобно писать здесь в виде

°ik = ²P^cl^uik + Р (с? — ^2с?) ^и/А*«

Граничные условия на свободной поверхности среды гласят о^п^ = 0, откуда а_хх = Оу_Х = 0, и дают два уравнения, из которых можно выразить А\, At через А₀. В результате вычисления получается

с] sin 29, sin 26₀ + с) cos² 29, 2ciCt sin 26₀ cos 29f

с² sin 26, sin 20₀ — с] cos² 20,

Ai = А_а

A_t = —А₀

ci sin 26, sin 20₀ + l\ cos² 26,

При 9₀ = 0 имеем A\ = —А_й, At = 0, т. е. волна отражается целиком как про­дольная. Отношение перпендикулярной к поверхности среды компоненты плот­ности потока энергии в отраженной продольной волне к такому же потоку в па­дающей волне есть

^Rl-\A₀

Аналогичное отношение для отраженной поперечной волны есть

ct cos Of I At I²

ci cos 6₀ I A₀

Разумеется, Ri -f- Rt = 1.

2. To же, если падающая волна поперечная (и направление колебаний в ней лежит в плоскости падения)*).

Решение. Волна отражается в виде поперечной же и продольной волн, причем Of = б₀, cj sin 9; = cj sin 9₀. Полный вектор смещения:

u = [ап„] Л₀е'^к°^Г + mAie^tklT + [an₍] A_te^kl^T.

Для амплитуд отраженных волн получаются выражения A_t с\ sin 29, sin 29₀ — с| cos² 29₀ "^7^_^sin26,sin29₀ + c.²cos²2e_Q '

At 2c;c_t sin 29₀ cos 28₀

A₀ ~ c\ sin 29, sin 29₀ + cj cos² 20_o '