1) Дадим также выражения скоростей ci и с( через коэффициенты сжатия и сдвига и через коэффициенты Ламэ:

/ ЗК + 4ц. у/2 /Я + 2ц, у/2 /МЛ¹/²

^а) При фактическом изменении о в пределах от 0 до 1/2 (см. примечание на стр. 26) имеет место и более сильное неравенство ц > cj j^2,

Скорости с_г и Ct называют продольной и поперечной скоростями звука.

Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагон&&йъ1Х членов тензора деформации, т. е. величиной Hjj = div и. В поперечной волне имеются только компоненты u_v, щ, и поскольку они не зависят ни от у, ни от г, для такой волны div и = 0. Таким образом, поперечные волны не связаны с избие­нием объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн div и Ф 0; эти волны сопровождаются сжатиями и расши­рениями в теле.

Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (не плоской) упругой волны в неограниченном про­странстве.

Перепишем уравнение (22,2), введя в него скорости e_t и c_t' и = с? Ли + (с²-cf) grad div и. (22,6)

Представим вектор а в виде суммы двух частей:

и = щ + щ, (22,7)

из которых одна удовлетворяет условию

div щ = 0, (22,8)

а другая — условию

rot щ = 0. (22,9)

Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра). При подстановке и = щ + щ в (22,6) получаем

, и/ + »ь = с\ Д (и, + и,) + (с| - с|) grad div и,. (22,10)

Применим к обеим сторонам этого уравнения операцию div. Поскольку div u₍ == 0, мы получим

div щ = ct Д div ti/ -j- (cf — с?) Д div u,,

или

div {щ — с] Smi) = 0.

С другой стороны, rot стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (22,9). Но если rot и div некоторого вектора исче­зают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом,

*£--с?Ди, = 0. (22,11)

Аналогично применяя к уравнению (22,10) операцию rot и помня, что rot Uj = 0 и что rot всякого градиента равен нулю, находим

rot(tb — с) Ди*) — 0.

Поскольку div стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, то мы приходим опять к уравнению того же вида^как и (22,11);

-gL__c?Au, = 0. (22,12)

Уравнения (22,11) и (22,-12) предс^анляют 'Собой обычные вол­новые уравнения (в трех измерениях). Каждое" цз них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно Cj или c_t. Одна из этих волн (щ) не связана с изменением объема (в силу div щ — 0), а другая (а_г) сопровождается объемными сжа­тиями и расширениями.

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид

и = Ъе{щ(г)е~™\, (22,13)

где и₀ — функция координат. Эта функция удовлетворяет урав­нению

с] Au₀ + (^с/ — ^с?) grad div u₀ + <o²u₀ = 0, (22,14)

получающемуся при подстановке (22,13) в (22,6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют урав­нениям

^{Au^ + fefo-O, Ди/+ ftfn, = 0, (22,15)}

где ki — ю/cz, k_t = ®к_г — волновые векторы продольной и попе­речной волн.

Наконед, рассмотрим отражение и преломление плоской моно­хроматической уяругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешан­ные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения еолны на поверхность раздела и в случае падения под произволыгь™ углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колеба­ниями.

Соотношения, определяющие направления отраженной и пре­ломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоян­ства частоты и касательных к поверхности раздела компонент волнового вектора *). Пусть 0 и 6' — угол падения и угол отра­жения (или преломления), г с, с' — скорости обеих рассматри­ваемых волн. Тогда

■^г = А-. (22,16)