5. Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действием сосредоточенных сил.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложе­ния сил, на котором F = const. Интегрируя (19,10), получаем

(1)

постоянная интегрирования написана в виде вектора cF, направленного вдоль F, поскольку надлежащим выбором начала координат, т. е. прибавлением к г некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпен­дикулярный к F. Умножая (1) скалярно и векторно на г' (штрих означает диф­ференцирование по I) и замечая, что г'г* = 0 (поскольку г' = 1), получаем

F [it'] + cFr' = 0, Eh" = [[Ft] r'J + с [Fr'J. В компонентах (ось г выбрана по направлению F)

(ху' — ух') + сг' == 0, Elf = — F (хх' + уу'). Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты г, <р, г, получаем

^{r*q>' + сг' = 0, Е1г" = — Frr'. (2)}

Из второго уравнения имеем

где А — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством

Г'З _j_ _Г2_ф'И _{+ г}<2 ₌ j,

получаем

rdr Г F^% Т1/2

после чего из (2) и (3) находим

F е (А — r²)r . cF t А — г* ,

^г=-тг\ _G^{(r) dr' ф = —m-]-iGWdr*}

чем и определяется форма изогнутого стержня,

6. Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения т) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые должны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком со­стоянии.

Решение. Пусть R — радиус цилиндра, на поверхности которого навита винтовая линия (ось z выбираем по оси этого цилиндра), а а — угол между ка­сательной к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси г; шаг винтовой ли­нии h связан с а и R посредством h = 2nR tg а. Уравнения винтовой линии:

x = R cos q>, у = R sin ф, г = q>/? tg a

(ф — угол поворота вокруг оси г); элемент длины дуги dl= Rdy/cosa. Под­ставляя эти выражения в (19,7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19,3) — силу F (постоянную вдоль всей длины стержня). В резуль­тате находим, что сила F направлена по оси г и равна

„ „ _ sin a EI .

F_Z = F = Ст —= ^- cos² a sin a.

R R*

Момент M имеет составляющую по оси z:

EI

m_z = Ст sin a + —g- cos³ a

и составляющую М_ф, направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную М_ф = FR.

7, Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подвешенной за две точки в поле тяжести.

Решение, Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в каче­стве плоскости х, у с осью у, направленной вертикально вниз. В уравнении (19,3) можно пренебречь членом dfAldl, поскольку М пропорционально EI. Тогда [Ft j = 0, т. е. F направлено в каждой точке нити по t и можно написать F = = Ft, Уравнение (19,2) дает теперь

(q — вес единицы длины нити), откуда

dl ~^{Ct t} dl ~^ql-

Отсюда имеем F = Y^c% + <7²^², так что

dx a dy

dl ' ^dl VA*+ I*

(где A = clq). Интегрирование дает

x=4Arsh-i-, y = VA* + l\

откуда

Ach 4",

т. е. нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постоянная^ А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданные точки и должна иметь заданную длину.