1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня круго­вого сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложен­ными к нему сосредоточенными силами.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил; на таком участке F = const. Выберем плоскость изгиба в качестве пло­скости х, у, а ось у — параллельно силе F. Вводим угол 6 между касательной к линии стержня и осью у. Тогда dxldl = sin 6, dyldl = cos 6, где x, у — коор.

динаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в (!9,Ю), получаем уравнение для 9 как функции длины дуги /

IE

Первое интегрирование дает IE

dl*

■ F sin 6 = 0.

F cos 9 = c_x

и отсюда

(1)

л Г IE С d£

^{Vct. — F cos 9}

Функция 9 (/) может быть выражена отсюда через эллиптические функции. Для координат х— | sin 0 dl, у = | cos 9 dl получаем

: = ± -4- V^IE Vci — F cos 9 + const, г

(2)

If ie ? cosBr

-const'.

• cos 9

Момент M (19,9) направлен по оси z и равен

rfG

M = IE-

dl

2. Определить форму сильно изогнутого стерж­ня, одет конец которого заделан, а к другому, сво­бодному, приложена сила f; направление f перпендику­лярно к прямой недеформированного стержня (рис. 15). Решение. На всей длине стержня F = const = f. На заделанном конце (/ = 0) в = я/2, а на свободном (/ = L, где L — длина стержня) М = 0, т. е. 6' = 0. Вводя обозначение 0_О= в (L), имеем в (1) с_х= / cos 9₈:

п/2

dQ

I / iE_ с а

У 2/ j КЕоТ^

1>

■ cose

Отсюда получаем уравнение, определяющее %:

я/2

dQ

I^cos 0₉ — cos 9

Форма стержня определяется формулами

п/2

^{jc= У*!£- (KEoI^-^cosOo-cose),}

cos9rf9

I^cos 0„ —- cos 0

3. To же, если сила f, приложенная к свободному концу, нанравлеиа iia-I раллельно линии недеформированного стержня.

S 191

уравнения равновесия стержней

107

Решение. Имеем F = —f (оси координат выбраны указанным на рис. 16 образом). Граничные условия: 9=0 при / = 0, 0/ = О при 1= L. Имеем

V^costi— cos9₀ '

где 9₀ определяется из I (0_О) = L, Для х и у получаем

^{]/-—- (V1 — cos в}₀ ^{— KcosO-cosO,),}

cosfl (

V^cos 9 — cos ©о

При слабом изгибе 6₀ < 1 и можно написать:

е.

V t J }'% — & 2 f / '

т. e. G₀ выпадает из этого соотношения. Это показывает, в согласии с резуль­татом задачи 3 § 21, что рассматриваемое решение существует только при / > ;> n²IElAL², т. е, после потери устойчивости прямолинейной формой.

4. То же, если оба конца стержня оперты, а к его середине приложена сила f; расстояние между точками опоры есть

Решение, Выбираем оси координат указанным на рис, 17 образом. Сила F постоянна на каждом из участков А В и ВС, причем на каждом из них перпендикулярна к линии стержня в точках опоры — соответственно Л и С. Разность значений F на А В и ВС равна f, откуда заключаем, что на АВ F sin fle = = —//2, где 0_О — угол между осью у и линией АС. В точке А (I = 0) имеем усло­вия 6 = я/2 и М »» 0, 1. е, 6' = 0, так что на Л В

л/2

IE , „ \1/2

. cos9

я/2

Угол 9₀ определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую Л С должна быть равна LJ2, откуда имеем

П/2

L* ( ^1Е -„о V^/2 Г cos(0-e_o) „

/ IE . . \i/2 j-

2 \ / """»/ J ^iuTe

При некотором определенном значении 0_О) лежащем между 0 и я/2, производная df/rf6₀ (где / рассматривается как функция от 0_О) обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению 6₀, т. е. увеличению прогиба, соот­ветствовало бы уменьшение /. Это значит, что найденное решение делается не­устойчивым; стержень «проваливается» между опорами.