1. Вывести уравнения равновесия для сферической оболочки (радиуса r), деформируемой симметрично относительно оси, проходящей через ее центр.

Решение. В качестве двухмерных координат на поверхности оболочки пользуемся углами 6, <р сферической системы координат с началом в центре сферы и полярной осью по оси симметрии деформированной оболочки.

Пусть Р_г — отнесенная к единице поверхности оболочки радиальная внеш­няя сила. Эта сила должна компенсироваться радиальной равнодействующей сил внутренних напряжений, действующих на элемент оболочки в тангенциаль­ных к нему направлениях. Соответствующее условие гласит:

-|г (o_w + °вв) = Рг- (1)

Это уравнение в точности аналогично известному уравнению Лапласа, опреде­ляющему разность давлений двух сред, связанную с действующим в поверхности их раздела поверхностным напряжением.

Пусть, далее, Q_z (9) есть направленная вдоль полярной оси (оси г) равно­действующая всех внешних сил, действующих на часть оболочки, расположен­ную над параллельным кругом 6 = const. Эта сила должна компенсироваться проекцией на ось z напряжений 2nR sin qiiOqq, действующих на сечение 2nRh sin О оболочки по указанной окружности. Отсюда

2nRh sin² боее = Q_z (9). (2)

Уравнениями (1) и (2) определяется распределение напряжений, после чего тензор деформации находится по формулам

"ое = -g- (^стее — oo-qxp), "от ⁼ ~£~ (°фф ^{— ffCT}ee)> "вф = 0, (3)

а затем вектор смещения с помощью уравнений

"ее = -£г + "г), "фф = -jf («в ctg в + и_г). (4)

2. Определить деформацию под влиянием собственного веса полусфериче- ской оболочки, расположенной куполом вверх; края купола свободно переме- щаются по горизонтальной опоре (рис. 10).

Решение. Имеем

Р, = — pgh cos 6, Q_z = — 2nR² (1 - cos 9) pgh (Q_z есть полный вес оболочки над окружностью 9 = const). Из (1) и (2) находим

По формулам (3) вычисляем u_w и «ее. после чего из уравнений (4) вычисляем «9 и и_г (постоянная, возникающая при интегрировании первого из этих урав­нений, определяется так, чтобы при 0 = я/2 было Ид = 0). В результате получим

tf²Pg(l + о) Г cos 9 , , , _йЛ . „ _{ив =} [у^д + In (1 + cos 9) j sm 0,

_{Ur =} ЕЩ±Л [ 1 _ ^ cos 9 - cos 9 in (1 + cos 9) ] .

Значение и_т при 9 = я/2 дает горизонтальное смещение опоры.

3. Определить деформацию полусферической оболочки с закрепленными краями, расположенной куполом вниз и наполненной жидкостью (рис.11); весом самой оболочки можно пренебречь по сравнению с весом жидкости.

Рис. 10 Рис. 11

Решение. Имеем

P, = Pog#cos0, Р₉ = 0,

в

Q_t = 2яЯ² j P_r cos 9 sin 6 dQ = ²"^^Pl,g (1 — cos^? 9) о

(Po — плотность жидкости). Далее, по формулам (I) и (2) находим fl²Pog 1 — cos³ 9 7?²p₀g (— 1 + 3 cos 9 — 2 cos³ 9)

3h sin² 8 ' ^a<ff~ ЗЛ sliPl '

Для смещений получается

"»= 3Eh ^5ШЧг+ет^{+1п(1+(:о59)}]'

fl'PogO +<>) Г a i /i . m . . 3cos9] —OJUL. ^cos9 1n(l+cos e)-l+_T-_F5-J.

При 9= я/2 u_r остается конечным, а не обращается в нуль, как должно было быть. Это значит, что в действительности вблизи линии закрепления оболочки происходит настолько сильный ее изгиб, что полученное решение становится неприменимым.