3. Определить деформацию бесконечной клиновидной пластинки (с углом 2а при вершине) под влиянием силы, приложенной к ее вершине.

Решение. Распределение напряжений определяется формулами, отли­чающимися от полученных в предыдущей задаче лишь нормировкой. Если сила действует вдоль средней линии клина (сила Fx на рис. 7), то имеем

_ Fi cos _Ф _ _

°^rr~ г (а + \'₂ sin 2а)' - ^стфф ~ ^и •

Если же сила действует в перпендикулярном направлении (F₂ на рис. 7), то

_ F₂ cos ф

°^rr — ^— г (а — V» sin 2a) *

В каждом из этих двух случаев угол ф отсчитывается от соответствующего напра­вления действия силы.

4. Определить деформацию круглого диска (радиуса r), сжатого двумя равными и противоположными силами Fh, приложенными к двум концам диа- метра (рис. 8).

Решение. Решение задачи получается путем наложения трех распре­делений внутренних напряжений. Два распределения:

о-О) ^{2Р С0!5ф1} о⁽¹> =а<^!> =0

_q(2) _д_ Jg. ^C0S(P2 (2) _ (2) ₌₀

где /-f, Ф1 и /-а, ф₂ — полярные координаты произвольной точки Р с началами соответственно в точках А и В (это есть напряжения, которые возникли бы от нормальной силы F, приложенной к точке на границе полуплоскости, см. задачу 2), Третье распределение

представляет собой равномерное растяжение определенной интенсивности. Действительно, если точка Р лежит на окружности края диска, то для нее г_х = = 2R cos ф₁₍ г_а = 2R cos f₂, ^{так что}

Поскольку направления r_t и г₂ в этой точке взаимно перпендикулярны, то мы видим, что первые две системы напряжений приводят на краю диска к равно­мерному сжатию; эти силы как раз компенсируются равномерным растяжением третьей системы, так что край диска оказывается, как и следовало, свободным от напряжений.

5. Определить распределение напряжений в неограниченной пластинке с круглым отверстием (радиуса r), подвергаемой равномерному растяжению.

Решение. Равномерному растяжению сплошной пластинки соответ­ствуют напряжения о"^' = Т, а<о> ₌ qw _ о, где Т — растягивающая сила. Им отвечает функция напряжений

Х^с0) = -|-«/² = -^-г³ sin² _ф = -L 7Y² (1 — cos 2ф).

При наличии круглого отверстия (с центром в начале полярных координат г, ф) ищем функцию напряжений в виде

% = X^w + Х^ш. Х^ш = f(r) + F (г) cos 2ф. Не зависящий от ф интеграл бигармонического уравнения имеет вид

/ (/•) = ar² In г + Ьг² + с In г, а в интеграле, пропорциональном cos 2ф:

F (г) = dr² + er* + g/r². Входящие сюда постоянные определяются условиями о"<-£' = 0 при г=оо и о_1Г = о_гф = 0 при г = R. В результате получим

_%ш = Z|i г_,_п, ₊ __|L) _{cos 2f}J _t

и распределение напряжений определяется так:

^{а"=тг О —w-) I1 + О - ■¥-)С05 2ч>] '}

Т Г. , 2R² ЗК* 1 . „ с„ = —+-J5 —J sm2q>.

В частности, на границе отверстия a_v<p = Т (1 — 2 cos 2<р), а при (р = ±я/2 о_фф = ЗТ, т. е. в три раза превосходит напряжения на бесконечности (ср. за­дачу 12 § 7).