1. Определить деформацию плоского диска, равномерно вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости.

*) Однородную вдоль оси г деформацию, при которой во всем теле a_zx = = o_zy = o_zz = 0, иногда называют плоским напряженным состоянием в отличие от плоской деформации, при которой во всем теле и_1х = и_1у — и_гг = 0.

Решение. Искомое решение отличается лишь значениями постоянных коэффициентов от полученного в задаче 5 § 7 решения для плоской деформации

вращающегося цилиндра. Радиальное смещение и_г ■

= и (а) дается формулой

8£

_PQi8(i — _Р2) / 3 + а 4l+o

Я²

Это — выражение, переходящее при замене (13,3) в формулу, полученную в за­даче 5 § 7.

2. Определить деформацию полубесконечной пластинки (с прямолинейным краем) под влиянием сосредоточенной силы, приложенной к точке края пла­стинки и действующей в ее плоскости.

дг

Решение. Вводим полярные координаты с углом <р, отсчитываемым от направления действия приложенной силы; он пробегает значения от — (я/2 -f- а) до я/2 — а, где а — угол между направлением силы и нормалью к краю пла­стинки (рис. 6). Во всех точках свободной гра­ницы, за исключением точки приложения внеш­ней силы (начало координат), должны выпол­няться условия а_ф(р = а_гф = 0. Воспользовав­шись выражениями для о_фф и а_гф, полученными в задаче 11 § 7, найдем, что для этого функция напряжений должна удовлетворять условиям

-а.

= const при ф = =F —п~

= const,

1 дх г dq>

о

\J_J_l д \ . д² у _ [г дг \ дг )^ дф² J ^{Х _}

Оба эти условия выполняются, если х = /"/(ф). При такой подстановке бигар-моническое уравнение

дг

дает для J (ф) решения вида sin ф, cos ф, ф sin ф, ф cos ф. Из них первые два фик­тивны, так как приводят к тождественно равным нулю напряжениям. Решение, дающее правильное значение приложенной в начале координат силы;

X = — — лф sin ф,

2F cos ф

фф ■

0"_Гф Сохе 0

(1)

(F — значение силы, отнесенное к единице толщины пластинки). Действительно, проецируя силы внутренних напряжений на направления, параллельное и перпендикулярное к силе F, и интегрируя по малой полуокружности с центром в начале координат (радиус которой можно представить себе стремящимся затем к нулю), получим

| o_rr cos фг dtf = —F, | a_rr sin <fr dy = 0,

т. е. как раз те значения, которые компенсируются приложенной в начале коор­динат внешней силой.

Формулы (1) определяют искомое распределение напряжений. Оно оказы­вается чисто радиальным: на всякую площадку, перпендикулярную к радиусу, действует только радиальная сжимающая сила. Линиями равных напряжений являются окружности т = d cos ф, проходящие через начало координат и име­ющие центры на прямой, вдоль которой действует сила F (рис. 6),

Компоненты тензора деформации

Отсюда интегрированием (с помощью выражений (1,8) для компонент в по­лярных координатах) можно найти вектор смещения:

2F , г (l—a)F

и_г = -_т cos _Ф In — - Ф sm _Ф,

2aF . , 2F , т , , (1 — a) F , . . йё-^8,Пф+1ЙБ In—З.Пф + ^-_й1^-(₅1П_Ф-фС0₅ф).

Постоянные интегрирования выбраны здесь таким образом, чтобы исключить перемещение (перенос или поворот) пластинки как целого; именно, предпола­гается несмещенной некоторая условно выбранная точка, находящаяся на рас­стоянии а от начала координат на линии действия силы.

Рис. 7 Рис. 8

С помощью полученного решения можно построить решение для произволь­ного распределения сил, действующих на край пластинки (ср. § 8). Само по себе оно, разумеется, неприменимо в непосредственной окрестности начала коор­динат.