§ 13. Продольные деформации пластинок

Особым видом деформаций тонких пластинок являются про­дольные деформации, происходящие в самой плоскости пластинки и не сопровождающиеся ее изгибом. Выведем уравнения равно­весия, описывающие такие деформации.

= а

Если пластинка достаточно тонка, то деформацию можно счи­тать однородной по ее толщине. Тензор деформации является при этом функцией только от х и у (плоскость х, у выбрана в пло­скости пластинки) и не зависит от г. Продольные деформации пластинки вызываются обычно либо силами, приложенными к ее краям, либо действующими в плоскости пластинки объемными силами. Граничные условия на обеих поверхностях пластинки гласят при этом: o_ihn_h = 0, или, поскольку вектор нормали на­правлен по оси 2s o_tz = 0, т. е.

а.

Следует, однако, заметить, что в излагаемой ниже приближенной теории эти условия остаются в силе и в том случае, когда растя­гпвагощие внешние силы приложены непосредственно к поверх­ностям пластинки, так как эти силы все равно будут малыми по сравнению с возникающими в пластинке продольными внутрен­ними напряжениями (а_хх, о_уу, о_ху). Будучи равными нулю на гра­ницах, величины a_xz, a_yz, a_zz будут малыми и на всем протяжении малой толщины пластинки, в силу чего мы можем приближенно считать их равными нулю во всем объеме пластинки.

Приравнивая нулю выражения (11,2), получим следующие соотношения:

и₂, = — -г—7 + ^uvb)> u_x2 = u_yz = 0. (13,1)

Подставив их в общие формулы (5,13), получаем отличные от нуля компоненты тензора напряжений в виде

@хх ~ | ₀2 ' (u_xx -\- GUyy),

^аУУ = 1.5 ₀» ("да + ou_a), (13,2)

Е

"ад ^— 1 _j_ о ^xv

Следует обратить внимание на то, что путем формальной замены

^Е fir <¹³-³)

1 — о² ' 1

эти выражения переходят в формулы, определяющие связь между напряжениями а_хх, а_ху, а_иу и деформациями и_хх, и_уу, и_гг при плоской деформации (формулы (5,13) с и_1г = 0).

После того как мы таким образом исключили вовсе смещение и_г, мы можем рассматривать пластинку просто как некоторую двух­мерную среду (упругая плоскость), не обладающую толщиной, и говорить о векторе деформации и как о двухмерном векторе с двумя компонентами и_х и и_у. Если Р_х, Р_у — компоненты внеш­ней объемной силы, отнесенной к единице площади пластинки, то общие уравнения равновесия гласят:

h

дх ¹ ду / ' * ' \ дх ¹ ду

Подставляя сюда выражения (13,2), получаем уравнения равно­весия в виде

1 д²и_х . I д*и_х . 1 д²и_у

Eh

1 — о² дх¹

I 1 &и_х 1 д²и_у lip __п

'2(1 + 0) ду* '2(1—0) дх ду J "г ³⁰ ~ '

Eh

(13,4)

L_ ^д'*^иУ 4- ^{1 S2}"» 4- ¹ 1 + р - о

1—а² ду* ^ 2(1+о) дх* f 2(1— о) дх ду j Т "

Эти уравнения могут быть написаны в двухмерном векторном виде graddivu—¹ ~ ^q rot rot u = — P ¹ ~ ° , (13,5)

где все векторные операции понимаются как двухмерные.

В частности, в отсутствие объемных сил уравнение равновесия гласит;

grad div и —-^-2-rot rot и = 0. (13,6)

Оно отличается лишь значением коэффициента (в соответствии с (13,3)) от уравнения равновесия для плоской деформации не­ограниченного вдоль оси z тела (§ 7) *). Так же как и для плоской деформации, можно ввести здесь функцию напряжения, опреде­ленную соотношениями

_дуг » 0-_ад— — _&хду , О_уу — _дх% , (13,1)

автоматически удовлетворяющими уравнениям равновесия, напи­санным в виде

do"** I до_ху _ q да_Ух , да_уу _ q дх ' ду ' дх ' ду

Функция напряжений по-прежнему удовлетворяет бигармониче-скому уравнению, так как для Дх имеем соотношение

АХ = o_xs + а_уу = _lf__(j (и_хх + и_иу) = _tf _р divu,

отличающееся лишь множителем от того, что мы имели для пло­ской деформации.

Отметим здесь следующее обстоятельство: распределение на­пряжений в пластинке, деформируемой приложенными к ее краям заданными силами, не зависит от упругих постоянных вещества пластинки. Действительно, эти постоянные не входят ни в би-гармоническое уравнение, которому удовлетворяет функция на­пряжений, ни в формулы (13,7), определяющие компоненты a_ik по этой функции (а потому и в граничные условия на краях пла­стинки).

Задачи