2. Найти условия положительности упругой энергии кубического кри- сталла.

Решение. Первые два члена в (10,10) составляют квадратичную форму трех независимых переменных и_хх, и_уу, u_zz. Условия положительности этой формы требуют положительности определителя ее коэффициентов, одного из его миноров и коэффициента к_Хххх- Кроме того, должен быть положителен тре­тий член в (10,10). Эти условия приводят к неравенствам

К > О, А, > 0, — У2< Я₂< %_ь

где обозначено A-i = h_xxxx, Я₂ = "к_ххуу, ^з = k_xyxy.

3. Определить зависимость модуля растяжения кубического кристалла от направления в нем.

Решение. Выбираем оси координат в направлениях ребер куба. Пусть ось вырезанного из кристалла стержня имеет направление единичного вектора п. Тензор напряжений в растянутом стержне должен удовлетворять следующим условиям: должно быть в^пь = pni, где р —действующая на единицу площади оснований стержня растягивающая сила (условие на основаниях стержня); для направлений t, перпендикулярных п, должно быть o_ikth = 0 (условие на бо­ковых сторонах стержня). Такой тензор должен иметь вид = рщп_к. Вычи­слив компоненты а,й дифференцированием выражения (10,10) ^г) и сравнив ия с выражениями Cjj, = рп^, получим для компонент тензора деформации вы­ражения

(K_{l +} 2X₂)nl — Я₂ _ п_хп_у

^и™ -^р(к_х- К_г) {h + 2Я_г) ' "*» - ^Р 2Х₃

и аналогичные для остальных компонент.

Относительное продольное удлинение стержня есть и = (dl' — dl)/dl, где dl' дается формулой (1,2) и dxjdl = П|. Это дает для малых деформаций и = = Uift/r^rtft. Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональности в р — Ей, и для него находим

_{4- = (х1 + 2я,наГ-^} ⁺ _{("V - tt) М} ^{+ n%nl+}

Он имеет экстремальные значения в направлениях ребер (оси х, у, г) и простран­ственных диагоналей куба. В направлении вдоль ребер куба

^{£=.(*.!+ 2Я}₂^{) (X}_t ^{— kj/fc 4- Ю-}

При этом поперечное сжатие стержня и_хх = u_Vy = —au_zz = —аи, где величина о = X_i/(X_i -f- Х₂) играет роль коэффициента Пуассона. Согласно полученным в предыдущей задаче неравенствам: —1< а< 1/2.

^х) Если вычислять 0;й не непосредственно по формулам 0jfc = X_iki_mui_m, а путем дифференцирования конкретного выражения F, то производные по uth ^с i Ф k дают удвоенные значения 0jfe. Это связано с тем, что формула ot_h = dFlduih имеет по существу смысл лишь как выражающая тот факт, что dF = 0;s duih\ но в сумму a_ih du^ члены с дифференциалами du^ каждой из компонент с i =/= k симметричного тензора входят дважды,

Глава II

РАВНОВЕСИЕ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК

§ 11. Энергия изогнутой пластинки

В этой главе мы будем заниматься изучением некоторых ча­стных случаев равновесия деформируемых тел и начнем с рассмо­трения деформаций тонких пластинок. Когда мы говорим, что пластинка является тонкой, то подразумевается, что ее толщина мала по сравнению с размерами в двух других направлениях. Самые деформации по-прежнему считаются малыми. В данном случае критерием малости деформации является малость смеще­ний точек пластинки по сравнению с ее толщиной.

При применении к тонким пластинкам общие уравнения равно­весия значительно упрощаются. Удобнее, однако, выводить эти упрощенные уравнения не непосредственно из общих, а вычислив заново свободную энергию изогнутой пластинки и затем про-варьировав эту энергию.

При сгибании пластинки в некоторых местах внутри нее возникают растяжения, а в других — сжатия. Именно, на выпук­лой стороне пластинки, очевидно, происходит растяжение; по мере углубления в толщу пластинки это растяжение постепенно уменьшается, достигая в конце концов нуля, вслед за чем в даль­нейших слоях начинается постепенно увеличивающееся сжатие. Таким образом, внутри пластинки имеется нейтральная поверх­ность, на которой растяжение вообще отсутствует, а по двум сторонам ее деформация имеет противоположный знак. Оче­видно, что эта поверхность расположена по середине толщины пластинки.

Выберем систему координат с началом в какой-нибудь точке нейтральной поверхности и осью г, направленной по нормали к ней. Плоскость х, у совпадает с плоскостью недеформированной пластинки. Обозначим вертикальное смещение точек нейтральной поверхности, т. е. их г-координату, посредством £ (рис. 2). Что касается компонент смещений этих точек в плоскости х, у, то они являются, очевидно, величинами второго порядка малости по сравнению с £ и потому могут быть положены равными нулю. Таким образом, вектор смещения точек нейтральной поверхности:

^{иТ = < = 0, и40, = Е(*. у). (11,1)}

Для дальнейших вычислений необходимо сделать следующее замечание относительно напряжений, действующих в деформиро­

в анной пластинке. Поскольку пластинка тонкая, то, для того, чтобы изогнуть ее, требуется приложить к ее поверхности сравни­тельно небольшие силы. Эти силы во всяком случае будут значи­тельно меньше, чем те внутренние напряжения, которые возни­кают внутри деформированной пластинки благодаря имеющим в ней место растяжениям и сжатиям. Поэтому в граничных усло­виях (2,9) можно пренебречь силами P_t, так что остается o_lhn_h = == 0. Поскольку пластинка слабо изогнута, то можно считать, что вектор нормали п направлен по оси г. Таким образом, на обеих поверхностях пла­стинки должно быть

O_xz = Oyz ~ O_zz — 0.

Но поскольку толщина пластинки мала, _Рис g

то из равенства этих величин нулю на двух сторонах пластинки следует, что они малы и внутри нее. Таким образом, мы приходим к выводу, что во всей пластинке компоненты о_хг, а_уг, a_zz малы по сравнению с осталь­ными компонентами тензора напряжений. На этом основании мы можем положить их равными нулю и определить компоненты тензора деформации из этого условия. Согласно общим формулам (5,13) имеем

^Е - ^Е-

°ж — 1 _|_ _а ' O_ly — j _а U_zy,

£

°^{гг =} (1 +о) (1— 2а) К¹ ~ °) + ° + ^U*)fi'

Приравнивая эти выражения нулю, находим

д»х _ _ ди^ ди_у _ _ duz_ _ __ о , , .

дг ~~ дх ' дг ~ ду ' ^гг ~ \ — _а^Кхх~^^иУУ)'

В первые два уравнения можно для и_г с достаточной точностью подставить £ (х, у):

да_х _ dj du_v _ ag дг дх ' дг ~ ду '

откуда

Постоянные интегрирования положены равными нулю так, чтобы при z = 0 имело место и_ж = и_у = 0. Зная и_х и и_у, можно опре­делить все компоненты тензора деформации;

"хх— 2 _дх% , и_уу— — г-щ^, и_ху z-foTdy-'

(И,4)

62

равновесие стержней и пластинок

Ггл. II

Теперь уже можно вычислить, воспользовавшись общей фор­мулой (5,10), свободную энергию F единицы объема пластинки. Простое вычисление приводит к выражению

р — -2 ^£ / 1 /УС , | Г/ *С У УС 3»С11

' 1 + а (2(1 -а) V дх* "г ф² / -т" axay / a*² a^Jj'

(11,5)

Полная свободная энергия пластинки получится отсюда интегри­рованием по всему ее объему. Интегрирование по z производится в пределах от —ft/2 до +Л/2, где ft — толщина пластинки, а по х, у — по всей поверхности пластинки. В результате находим

полную свободную энергию F_a„ = j FdV деформированной пла­стинки в виде

^Гпл ~ 24 (1 — a²) J J 1А дх* ^ ду* I ^

^{+*<'-)[(tSV),-0-5-]}** О")}

(для элемента поверхности можно ввиду малости деформации пи­сать с достаточной точностью просто dx dy).

После того как получено выражение для свободной энергии, можно рассматривать пластинку как не обладающую толщиной, т. е. как геометрическую поверхность, поскольку нас интересует только форма, принимаемая ею под влиянием приложенных сил, а не распределение деформаций внутри самой пластинки. Вели­чина £ является тогда смещением точек пластинки, рассматрива­емой как поверхность, при ее изгибании.