*) Мы не доказываем здесь возможности наложения такого условия, она будет явствовать из того, что в результате мы не придем ни к каким противо­речиям.

2) Согласно математической терминологии есть тензор Грина для урав­нений равновесия полубесконечной среды.

Из теории потенциала известно, что гармоническая функция /, обращающаяся на бесконечности в нуль и обладающая заданной нормальной производной dfldz на плоскости 2 = 0, определяется формулой

1 Rrdf(X', у', г)

Ог

dx'dy¹ г=0 г

Поскольку величины dgjdz, dg_yldz и величина, стоящая в фигур­ных скобках в уравнении (8,10), удовлетворяют уравнению Лап­ласа, а равенства (8,10) и (8,12) как раз определяют значения их нормальных производных на плоскости 2 = 0, имеем

(8,15)

dgx _ 1 +Р Fx dg_y _ 1 +q F_u ,_я ._fi.

dz — nE г ' ~дГ~ пЕ Т' ⁽°'¹⁰⁾

где теперь г = Y*^а + .У² + ^z2 •

В выражения для компонент искомого вектора и входят не самые величины g_x, g_y, а только их производные по х, у, г. Для вычисления dgjdx, dg_yldy дифференцируем равенства (8,16) соответственно по л: и по у\

&g_{x =} 1+Q F_xx d*g_{y =} 1 + о F_yy ^ дх дг пЕ г^! ' ду dz пЕ г³

Интегрируя теперь по dz в пределах от со до г, получим

^д8х 1 + о F_xx dg_y 1 + о F_yy ,„

гсЯ г(г + г) ' 6ty я£ г(л + г) * * ' '

Мы не станем производить здесь дальнейших простых, но до- вольно громоздких вычислений. Из уравнений (8,11), (8,15) и (8,17) определяем Д и dtyldz. Зная легко вычислить

dty/дх, dty/dy, интегрируя сначала по г, а затем дифференцируя по х и по у. Так мы получим все величины, нужные для вычис­ления вектора деформации согласно (8,2), (8,5), (8,7). В результате получим следующие окончательные формулы;

1 + о

2я£

\Х хг Ц—ЩхЛр 2(1-о)л + г р , Ц г* r(r + z) J^r^-r г (г+ г) ^Гж~т"

2.

U, =

[2д (стг + _?)+2²]ДС

¹ гЦг + г)

В частности, смещение точек самой свободной поверхности среды дается формулами, получающимися отсюда при г — 0:

«- = ТИТ "Г Ь ^AL=ZT^1JL ^. + 2 (1 - a) F, + ^ (*F_X + ,

= "Уг IЬ ^ilZ:>^MX + 2 (1 - о) F, + —pf-(xF_x + *F,)},

"* = "Ут у {2 О - а) ^ + (1 - 2а) -f (xF_K + yF_u)). (8,19)

Задача

Определить деформацию неограниченной упругой среды, к малому участку которой приложена сила F (W. Thomson, 1848)¹).

Решение. Рассматривая деформацию на расстояниях г, больших по сравнению с размерами участка приложения силы, мы можем считать, что сила приложена в точке. Уравнение. равновесия гласит (ср. (7,2)):

^Ди + ь=2о" g^rad div и -= - ^{2 (1} + ^С) F6 (г) (1)

(где б (г) = 6 (х) б (у) б (г), а начало координат выбрано в точке приложения силы). Ищем решение в виде u = и₀ -f- и_ь где и₀ удовлетворяет уравнению типа Пуассона:

Д». = - ²⁰ +^g) F6 (г). (2)

Соответственно для щ получим уравнение

Vdivu₁ + (1— 2а)Ди! = — Vdivu₀. (3)

Обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (2) есть

1 + a F

2я£ г *

Применив к уравнению (3) операцию rot, получим Д rot uj = 0. На бесконеч­ности должно быть rot Uj = 0. Но функция, гармоническая во всем простран­стве и обращающаяся в нуль на бесконечности, равна нулю тождественно. Та­ким образом, rot Uj =: 0 и соответственно этому можно писать и_х в виде Uj = = grad ф. Из (3) получаем

v {2 (1 — о) Дф + div u„} = 0.

Отсюда следует, что стоящая в скобках величина есть постоянная, и поскольку она должна исчезать на бесконечности, то во всем пространстве

Д_{ф =} _____ = L±___fv j_

^т 2 (1—о) 4я£(1 — а) г •

Если t|) — решение уравнения Дг|> = 1/г, то

^J) Аналогичная задача для произвольной неограниченной анизотропной среды решена И. М, Лифшицем и Л, Н. Розенцвейгом (ЖЭТФ, 1947, т. 17, с, 783).

_^-4J(t-o)^F_^-

Выбрав не имеющее особенностей решение г|) = л/2, получим

1+ст (Fn) п — F »1 = ?Ф = faE(l-o) } '

где п — единичный вектор в направлении радиус-вектора г. Окончательно имеем

^ 1 + о (3 — 4а) F + n (nF) ^{U —} 8л£(1—а) г

Представив эту формулу в виде (8,13), получим тензор Грина уравнений равновесия неограниченной изотропной среды ¹):

1 + ст

₀₎ [(3 — 4o)o_ih + гцп_и]~

1 Г Oik

4nfj,

4(1 — a) dxidxfr.