3 Соответствующее равномерному однородному растяжению на бесконечности (ср. Задачу 2). Выпишем здесь результат, получающийся в общем случае для на­пряжений на границе полости:

^alk = ₇-5а { (! - °) Ы* -°Uⁿiⁿk ~ ^a*Vⁿiⁿt) + ^iⁿmn,n_nn_tn_h -

' ™'l>lⁿm⁸ik + ⁰"' (⁶*» ^{_ Я}'^Я*) } *

Вблизи отверстия напряжения значительно превышают напряжения на бесконечности, причем это увеличение напряжений имеет резко выраженный местный характер, быстро убывая с расстоянием (так называемая концентра­ция напряжений у отверстия). Так, если среда подвергается простому однород­ному растяжению (отлично от нуля только о_г^), то наибольшие напряжения будут иметь место на экваторе полости, причем здесь

27— 15а _(П, ⁰«- 2 (7-5а) ^СТ« •

§ 8. Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью

Рассмотрим упругую среду, заполняющую бесконечное полу­пространство, т. е. ограниченную с одной стороны бесконечной плоскостью. Определим деформацию среды под влиянием сил, приложенных к ее свободной поверхности Распределение этих сил должно удовлетворять только одному условию: они должны исчезать на бесконечности так, чтобы на бесконечности дефор­мация отсутствовала. Для такого случая уравнения равновесия могут быть проинтегрированы в общем виде (/. Boussinesq, 1885).

Во всем объеме, занимаемом средой, имеет место уравнение равновесия (7,4)

grad div u + (1 — 2а) Ли = 0. (8,1)

Будем искать решение этого уравнения в виде

u = f + УФ. (8,2)

где ф — некоторый скаляр, а вектор f удовлетворяет уравнению Лапласа

Л! = 0. (8,3)

Подстановка (8,2) в (8,1) приводит тогда к следующему уравне­нию для ф:

2 (1 — о) Лф = —div f. (8,4)

¹) Наиболее прямой и стандартный метод решения поставленной задачи заключается в применении к уравнению (8,1) метода Фурье. При этом, однако, приходится вычислять довольно сложные интегралы. Излагаемый ниже метод, основанный на применении ряда искусственных приемов, связан с более простыми вычислениями.

Выберем свободную поверхность упругой среды в качестве плоскости х, у; области среды соответствуют положительные г.

Напишем функции f_x и f_y в виде производных по г от некоторых функций g_x и g_y<

Поскольку f_x и f_y — гармонические функции, то можно всегда выбрать функции g_x, g_y так, чтобы и они удовлетворяли уравне­нию Лапласа:

А£_ж = 0, Ag_y = 0. (8,6)

Уравнение (8,4) принимает теперь вид

2(1-о)Дф---!-(^+^-И,).

Имея в виду, что g_x, g_y, f_z — гармонические функции, легко убедиться в том, что удовлетворяющая этому уравнению функция ф может быть написана как

Ф

4(1-

где ф — опять гармоническая функция:

Дф = 0. (8,8)

Таким образом, задача об определении деформации и сведена к нахождению функций g_x, g_y, f_z, ф, которые все удовлетворяют уравнению Лапласа.

Выпишем теперь граничные условия, которые должны выпол­няться на свободной поверхности среды (на плоскости z = 0).

Поскольку единичный вектор внешней нормали п направлен в отрицательном направлении оси г, то, согласно общей формуле (2,9), должно быть а_и = —P_t. Воспользовавшись для o_ih об­щим выражением (5,11) и выражая компоненты вектора и через вспомогательные величины g_x, g_y, f_z, ф, получим после простого вычисления граничные условия в следующем виде:

ff'g_x I , д J 1 - 2о . 1 / dg_x , dg_y \ . ₂ dip\ 1 _

да l^o"¹" дх \2(1—а)'^г 2(1— а) \ дх ^ ду ) *~ дг / |_г=0

^2 2=0

_{' =_21П_2)яж1 (8j9)}

j_ ^д f '-^2q f ¹ I dgx I $gy \ , о ) I _

~>~ ду \2(1 —a) '^z 2(l—o) \ дх "Г ду J * * дг (\_г=о ~

₌ 2(1 + а) _р

3 аг

^{{/.-(*+^)+2t)U — <W}

Компоненты Р_ж, Р_и, Р_г внешних сил, приложенных к поверх­ности, являются заданными функциями координат х, у, обраща­ющимися в нуль на бесконечности.

Формулы, с помощью которых введены вспомогательные вели­чины ,g_x, g_y, f_z, -ф, не определяют их вполне однозначным об­разом; в их выборе остается еще некоторый произвол. Поэтому можно наложить на эти величины еще какое-либо произвольное дополнительное условие. В качестве такового удобно потребовать обращения в нуль величины, стоящей в фигурных скобках в урав­нениях (8,9) *):

О - 2а) /, - (%- + **) + 4 (1 - а) = 0. (8,11) Тогда условия (8,9) упрощаются и дают

₂₌₀ = -^^ -5^=-^Ч. (8Л2)

Уравнения (8,10—12) достаточны для полного вычисления гар­монических функций g_x, gy, /₂, If.

Для упрощения записи дальнейших формул мы рассмотрим случай, когда на свободную поверхность упругого полупростран­ства действует сосредоточенная сила F, т. е. сила, приложенная к весьма малому участку поверхности, который можно считать точечным. Действие этой силы может быть описано как действие поверхностных сил, распределенных по закону

Р = П(х)Ь(у),

где б обозначает б-функцию, а начало координат выбрано в точке приложения силы. Зная решение задачи для сосредоточенной силы, можно непосредственно построить решение для произволь­ного распределения сил Р (х, у). Именно, если

Ui = G_ih(x, у, z)F_k (8,13)

есть деформация под действием сосредоточенной силы F, прило­женной в начале координат, то деформация под действием сил Р (х, у) дается интегралом ²)

= \\G_ik(x-x', у-у', z)P_k(x', y')dx'dy'. (8,14)