10. Выразить общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объ- емных сил) через произвольный бигармонический вектор (б. Г. Галёршн, 1930).

Решение. Естественно искать решение уравнения (7,4) в виде u = Af + A grad div f. Отсюда div u = (1 -f- A) div At. Подставляя это в (7,4), получим

(1 — 2а) ДAf + [2 (1 — о) А + 1] grad div AS = 0. Отсюда видно, что если f — произвольный бигармонический вектор

АД! - 0,

то

u = Af — —77- г grad div f.

2 (1 — о) ⁶

11. Выразить напряжения а_гг, 0_фф, a_r<f при плоской деформации (в поляр- ных координатах г, <р) в виде производных от функции напряжений.

Решение. Поскольку искомые выражения не могут зависеть от выбора начала отсчета полярного угла ср, то они не содержат его явным образом. По­этому можно применить следующий прием: преобразуем декартовы производ­ные (7,10) в производные по переменным г, ф, после чего замечаем, что

°гг = °**> °"фф = Оу_У, а_гф = а_ху при <р = 0 (угол ф отсчитывается от оси х). Таким образом, получим

а __L.JL.i- ¹ -__ а - а - д / I д_Х \ ^rr ~ г дг ~*~ г* дф² ' W" дг* ' ^ дг \~Т "дф~ / •

12. Определить распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шаровой полостью, подвергаемой (на бесконечности) однородной дефор- мации.

Решение. Общая однородная деформация может быть представлена в виде наложения однородного всестороннего растяжения (или сжатия) и одно­родного сдвига. Первое было рассмотрено в задаче 2, так что достаточно рассмо» треть однородный сдвиг.

Пусть о^* — однородное поле напряжений, которое имело бы место во всем пространстве при отсутствии полости; при чистом сдвиге aj^ = 0. Соответству­ющий вектор смещения обозначаем как и⁽⁰> и ищем искомое решение в виде и = — и⁽⁰⁾ -f- и'¹\ где обусловленная наличием полости функция u⁽i> исчезает на бесконечности.

Всякое решение бигармонического уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных порядков по координатам. Независимыми центрально-симметриче­скими решениями являются г², г, llr, 1. Поэтому наиболее общий вид, который может иметь бигармонический вектор и⁽¹⁾, зависящий, как от параметров, только от компонент постоянного тензора crj-j^ и обращающийся в нуль на бесконечно­сти, есть

¹_" ^A_{°W lk "Г + ftXto, Т- + dxJXhdXl г. (1)}

О-2а)

_{Подставив это выражение в уравнение (7,4), получим d}²_{ut д дщ}

дх] dxi dxi

_;[2(1__2a)C _{+ M +} 2C)]a^__^___L₌₀₎

откуда

^{А = — 4С (1 — а).}

Еще два соотношения между постоянными А, В, С получаются из условия на границе полости:

K^> + ^i⁾)«A = 0 при r=R

(R — радиус полости, начало координат выбрано в ее центре, п — единичный вектор в направлении г). Довольно длинное вычисление с помощью (1) при­водит к следующим значениям:

» CR² _г 5Я» (1 + а) 5 ' 2Е (7 — 5а) *

_{-[' + ■^(^ + 7^(4)"] +}

Окончательное выражение для распределения напряжений гласит;

_п _ ,т<0)

+

15

•5а

Для того чтобы получить распределение напряжений при произвольных! (не чисто сдвиговых) о^>, надо заменить в этом выражении oJ.JJ¹ на a<-g> — o_(ltaffi и прибавить выражение

1 Г R³