5. Определить деформацию цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси.

Решение. Написав в (7,3, центробежную силу pQV вместо силы тя­жести (Я — угловая скорость), получаем в цилиндрических координатах для смещения и_г = и (г) уравнение

£ (1 — о) d_ I 1 d (ru)

(1 + а) (1 — 20) dr

Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию а_гг = 0 при г — R, есть

6, Определить деформацию неравномерно нагретого шара со сферически симметричным распределением температуры.

Решение. В сферических координатах уравнение (7,8) для чисто ра­диальной деформации гласит:

l+o dT

d I 1 d(r*u)\ dr \ r^a dr )

dr \ r^a dr / 3(1 —a) dr *

Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию ff_ri. = 0 при г — R, есть

о о '

Температура Т (г) отсчитывается от значения, при котором равномерно нагре­тый шар считается недеформированным. В качестве этой температуры здесь выбрана температура внешней поверхности шара, так что Т (R) = 0.

7. То же для неравномерно нагретого цилиндра с осесимметричным распре­делением температуры,

Решение. Аналогичным путем в цилиндрических координатах полу­чаем

t г R \

\~- J Т (г) rdr + (1 - 2о) j Т (г) г dr\, I О О '

1 + а

и —а-

3 (1 - о)

о

8. Определить деформацию неограниченной упругой среды с заданным распределением температуры Т (х, у, г) таким, что на бесконечности темпера- тура стремится к постоянному значению Т_е и деформация отсутствует.

Решение. Уравнение (7,8) имеет, очевидно, решение, в котором

rot и = 0, divu^o: g^t^p) Fix, у, *) — Т₀].

Вектор и, дивергенция которого равна заданной функции, определенной во всем пространстве и обращающейся в нуль на бесконечности, а ротор которого тождественно исчезает, может быть написан, как известно из векторного ана­лиза, в виде

и (х, у, г) = - — у J L_!_XJ—dV,

где г² = (х — х')² + (у — у')² + (z — г')². Поэтому получаем общее решение поставленной задачи в виде

12я (1 — о) ^v J т ^w

где Г = Т (х', у', г').

Если в очень малом участке объема неограниченной среды (в начале коор­динат) выделяется конечное количество тепла q, то распределение температуры можно написать в виде (С — теплоемкость среды)

Т-Т₀^-^-6(х)8(у)8(г),

где 6 обозначает б-функцию. Интеграл в (1) равен тогда qlCr, и деформация да­ется формулой

сс(1, + о-)<7 г 12я(1 — а) С гз *

9. Вывести уравнения равновесия изотропного тела (при отсутствии объем- ных сил), выраженные через компоненты тензора напряжений.

Решение. Искомая система уравнений содержит наряду с тремя урав­нениями

= О (1)

dx_h

еще уравнения, являющиеся следствием того факта, что шесть различных ком­понент Uik не являются независимыми величинами. Для вывода этих уравнений пишем сначала систему дифференциальных соотношений, которым удовлетво­ряют компоненты тензора 1ц_к. Легко видеть, что величины

dx_h

тождественно удовлетворяют соотношениям

1 / дщ ди_к

Щк

d²u_ih d²u_lm d²u_it d²u_h„

Ьх\ dx_m dxi dxk дх_к дх_т dx_t 6xj

2 \ dx_h dxi )

Здесь имеется всего шесть существенно различных соотношений (соответству­ющих значениям i, k, I, т: 1122, 1133, 2233, 1123, 2213, 3312); мы сохраним их все, упростив написанное тензорное равенство по индексам I, т:

_{Au.h + f» + -Pit-- <}²_>

^lR dxi дх_к dx_h dxi dx_t dxi

Подставляя сюда и^, выраженное через согласно (5,12), и учитывая (1), получим искомые уравнения

Эти уравнения остаются в силе и при наличии постоянных вдоль тела внешних объемных сил.

Упростив уравнение (3) по индексам (', k, найдем, что

Да;; = О,

т. е. Оц — гармоническая функция. Применив же теперь к этому уравнению операцию Д, найдем, что

ДДо-jft = О,

т. е. компоненты — бигармонические функции; эти результаты следуют, впро­чем, уже непосредственно из (7,6) и (7,7) ввиду линейной связи между a_ift и щ^,