1. Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических координатах г, ф, г.

От ьет:

М_х = т sin <р (ri — zf) — тгщ cos ф, Му = т cos ф (zr — ri) — тггф sin ф,

М* =* /п'г'ф⁸ (г² + г³) + т² (ri - zff.

2. То же в сферических координатах г, 0, ф. Ответ:

М_х *» —«г² (в sin ф + ф sin 9 сов в cos ф), iW_y = тг³ (6 cos ф — ф sin б cos 8 sin ф), М_г = тг^й sln^s9-9, М¹ — mV {6^г + sin* в • ф*).

3. Какие компоненты импульса Р и момента М сохраняются при движе- нии в следующих полях:

а) иоле бесконечной однородной плоскости.

Ответ: Р_х, Р_у, Af* (бесконечная плоскость — плоскость х, у).

б) Поле бесконечного однородного цилиндра. Ответ: М,, Р_х (ось цилиндра —ось г).

в) Поле бесконечной однородной призмы. Ответ: Рг (ребра призмы параллельны оси г).

г) Поле двух точек.

Ответ: М* (точки находятся на оси г).

д) Поле бесконечной однородной полуплоскости.

Ответ: Р_й (бесконечная полуплоскость — часть плоскости х, и* ограни­ченная осью у).

е) Поле одйородяогд конуса. Ответ: Af* (ось конуса — ось г).

ж) Поле однородного кругового тора. Ответ: М* (ось тора — ось г).

а) Поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии.

Решение. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси винта (ось г) на угол бф и одновременном переносе вдоль этой оси на рас­стояние ■—— бф (А —шаг винта). Поэтому

откуда

§ 13. Механическое подобие

Умножение функции Лагранжа на любой постоянный мно­житель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство (отмеченное уже в § 2) дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заклю-

МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

85

чевия о свойствах движения, не производя конкретного интегри­рования уравнений движения.

Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия яв­ляется однородной функцией координат, т. е. функцией, удов­летворяющей условию

£/(аг_1; аг₂, аг_п) = а*£/(г₁₍ г₂ г„), (10,1)

где а — любая постоянная, а число k — степень однородности функции.

Произведем преобразование, при котором наряду с измене­нием всех координат в а раз одновременно изменяется (в (i раз) время:

г_Л-*аг_в, t-*$t.

Все скорости v_a = -^jr изменяются при этом в а/р* раз, а ки­нетическая энергия—в a²/P² Р^аз- Потенциальная же энергия умножается на а*. Если связать аир" условием

2 1 ^k

a ft о

-р- = сг, т. е. р = а ² ,

то в результате такого преобразования функция Лагранжа це­ликом умножится на постоянный множитель а⁶, т. е. уравнения движения останутся неизменными.

Изменение всех координат частиц в одинаковое число раз означает переход от одних траекторий к другим, геометрически подобным первым и отличающимся от них лишь своими линей­ными размерами. Таким образом, мы приходим к заключению, что если потенциальная энергия системы является однородной функцией £-й степени от координат (декартовых), то уравнения движения допускают геометрически подобные траектории, при­чем все времена движения (между соответственными точками траекторий) относятся, как

\-±

т~(т) ■ (I⁰'²)

где l'/l — отношение линейных размеров двух траекторий. Вме­сте с временами определенными степенями отношения /'// яв­ляются также значения любых механических величин в соот­ветственных точках траекторий в соответственные моменты вре­мени, Так, для скоростей, энергии и момента имеем:

£-(тУ- S-(-f)'. 4-Й'⁴, о».»

Приведем для иллюстрации несколько примеров.

Как мы увидим далее, в случае так называемых малых ко­лебаний потенциальная энергия является квадратичной функ­цией координат (k=2). Из (10,2) находим, что период таких колебаний не зависит от их амплитуды.

В однородном силовом поле потенциальная энергия — ли­нейная функция координат (см. (5,8)), т. е. k = l. Из (10,2) имеем

Отсюда следует, например, что при падении в поле тяжести квадраты времени падения тел относятся, как их начальные высоты.

При ньютоновском притяжении двух масс или кулоновском взаимодействии двух зарядов потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т. е. является однородной функцией степени k = —1. В этих случаях

*' — (£Л³'² Т—\1 ) '

и мы можем утверждать, например, что квадраты времен об­ращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров (так называемый третий закон Кеплера).

Если движение системы, потенциальная энергия которой яв­ляется однородной функцией координат, происходит в ограни­ченной области пространства, существует весьма простое соот­ношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии; оно известно под названием вириаль-ной теоремы.

Поскольку кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях

27' = £p_av_a = -

а

дТ

или, вводя импульсы

£(ZP*^r°)-Z^r°Pa- (10,4)

Усредним это равенство по времени. Средним значением ка« кой-либо функции времени f(t) называется величина

т

f= lim ±\f(()dt.

Легко видеть, что если f(t) является производной по времени / (t) — от ограниченной (т. е. не принимающей бесконеч-

ных значений) функции'F(l), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно,

I ,. 1 Г dF 1. .. F (т) - F (0) „

f = hm -\^-^ = lim = 0.

Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина г_ар„ ограничена, и среднее значение первого члена в правой стороне равенства (10,4) об­ращается в нуль. Во втором же заменяем р_а согласно уравне-

ниям Ньютона на ^— и получаем'):

от_а

а

Если потенциальная энергия является однородной функцией k-н степени от всех радиус-векторов г₀, то согласно теореме Эй­лера равенство (10,5) переходит в искомое соотношение

2Г = Ш. (10,6)

Поскольку Т rf U = Е = Е, соотношение (10,6) можно пред­ставить в эквивалентных формах

выражающих О и Т через полную энергию системы. В частности, для малых колебаний (k = 2) имеем:

T = U,

т. е. средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (k = —1)

2Т = — U.

При этом Е = —Г в соответствии с тем, что при таком взаи­модействии движение происходит в конечной области простран­ства лишь при отрицательной полной энергии (см. § 15),

') Выражение в правой стороне равенства (10,5) иногда называют ви-риалом системы.

Задачи