§ 7. Импульс

Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства.

В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе си­стемы как целого в пространстве. В соответствии с этим рас­смотрим бесконечно малый перенос на отрезок е и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Параллельный перенос означает преобразование, при кото­ром все точки системы смещаются на один и тот же постоян­ный вектор е, т. е. их радиус-векторы r_e->r_a-f-e. Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения коорди­нат при неизменных скоростях частиц есть

a a

где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности е требование 6L = О эквива­лентно требованию

а

В силу уравнений Лагранжа (5,2) получаем отсюда;

Zd dL d_ ^dL __ г» dt ду_а ~ dt 2-i dv_a ~ ^U*

a a

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина

dL

остается неизменной при движении. Вектор Р называется им­пульсом¹) системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5,1), найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек:

Р = Е т_а\_а. (7,3)

а

Аддитивность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов •

р_а = m_av_a

отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебреже­ния взаимодействием между ними.

Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдель­ные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой-либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответ­ствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле, направленном вдоль оси г, сохраняются компоненты им­пульса вдоль осей х и у.

Исходное равенство (7,1) имеет простой физический смысл.

Производная — = —^— есть сила г_а, действующая на а-ю

частицу. Таким образом, равенство (7,1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю:

2>_в = 0. (7,4)

а

В частности, в случае системы, состоящей всего из двух мате­риальных точек, Fi + F₂ = 0: сила, действующая на первую ча­стицу со стороны второй, равна по величине, но противополож­на по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием за­кона равенства действия и противодействия.

Если движение описывается обобщенными координата­ми qi, то производные лагранжевой функции по обобщенным

') Устаревшее название — количество движения, скоростям

* = w_t ^(7,5)

называются обобщенными импульсами, а производные

= ⁽⁷'⁶⁾

называются обобщенными силами, В этих обозначениях урав­нения Лагранжа имеют вид

Pt = Fi. (7,7)

В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов р_а. В общем же случае величины pi являются линейными однородными функциями обобщенных ско­ростей qi, отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость.

Задача

Частица с массой т, движущаяся со скоростью v_b переходит из полу­пространства, в котором ее потенциальная энергия постоянна и равна Ui, в полупространство, где эта энергия тоже постоянна, но равна Иг. Опреде­лить изменение направления движения частицы.

(01 - U,).

Решение. Потенциальная энергия не зависит от координат вдоль осей, параллельных плоскости раздела между полупространствами. Поэтому со­храняется проекция импульса частицы на эту плоскость. Обозначая посред­ством 6i и 9г углы между нормалью к плоскости раздела и скоростями vi и v₂ частицы до и после перехода, получим: Vi sin 61 = v₂ sin 82. Связь же ме­жду vi и v₂ дается законом сохранения энергии, и в результате находим;

% 8. Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета. Если система отсчета К' движется относительно систе­мы отсчета К со скоростью V, то скорости \^г_а и \_а частиц по отношению к этим системам связаны соотношением v_a = Va-f-V. Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих си­стемах дается формулой

Р = Z ГП_а\а = Z maV'a + V £ ГП_а, а а а

ИЛИ

P = P' + Vlm_a. (8,1)

а

В частности, всегда существует такая система отсчета К^г, в которой полный импульс обращается в нуль, Положив в (8,1)

§81

ЦЕНТР ИНЕРЦИИ

29

Р' = 0, найдем, что скорость этой системы отсчета равна

_v= р _в2>л. ₍₈₂₎

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей си­стемы отсчета. Это является вполне естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки. Соответственно скорость V, даваемая формулой (8,2), приобретает смысл ско­рости «движения как целого» механической системы с отлич­ным от нуля импульсом. Мы видим, таким образом, что закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформу­лировать понятия покоя и скорости механической системы как целого.

Формула (8,2) показывает, что связь между импульсом Р и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы ме­жду импульсом и скоростью одной материальной точки с мас­сой р- = X ^та> равной сумме масс всех частиц в системе. Это обстоятельство можно сформулировать как утверждение об ад­дитивности массы.

Правая сторона формулы (8,2) может быть представлена как полная производная по времени от выражения

R = ^. (8,3)

Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (8,3). Такую точку называют центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сфор­мулировать как утверждение о том, что ее центр инерции дви­жется прямолинейно и равномерно. В таком виде это есть обоб­щение закона инерции, который был выведен в § 3 для одной свободной материальной точки, «центр инерции» которой сов­падает с ней самой.

При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться той системой отсчета, в которой ее центр инерции покоится. Тем самым исключается из рассмот­рения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Энергию покоящейся как целое механической системы обыч­но называют ее внутренней энергией £_вн. Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в си­стеме и потенциальную энергию их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью V, может быть представлена в виде:

Е = ^-+Е_ап. (8,4)

Хотя эта формула довольно очевидна, дадим ее прямой вывод. Энергии Е и Е' механической системы в двух системах отсчета К и К' связаны соотношением

_{£=4-Z™x+^-4Z^(<+}^v₎²_+<^/₌

а а

а а

ИЛИ

E = E' + VP' + V~-. (8,5)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому как для импульса этот закон дается формулой (8,1). Если в системе К! центр инерции покоится, то Р' = 0, Е' = Е_вп, и мы возвращаемся к формуле (8,4).

Задача

Найти закон преобразования действия при переходе от одной инерциаль­ной системы отсчета к другой.

Решение. Функция Лагранжа, равная разности кинетической и потен­циальной энергий, очевидно, преобразуется согласно формуле, аналогичной (8,5):

L = L' + VP' + V2^²-

Интегрируя это равенство по времени, найдем искомый закон преобразования действия:

S==S' + p,VR' + V2^. где R' — радиус-вектор центра инерции в системе К'.