§ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта

Уравнение движения в форме (50,10) позволяет снова убе­диться в адиабатической инвариантности переменной действия.

Функция 5о(<7, /; Я) — неоднозначная функция q; при возвра­щении координаты к первоначальному значению к So прибав­ляется целое кратное от 2л/. Производная же (50,9)—одно­значная функция, так как дифференцирование производится при постоянном / и прибавляющиеся к S₀ приращения при этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Л, будучи выражена через угловую переменную w, будет перио- дической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной dA/dw от периодической функции обра- щается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение (50,10) и вынося при этом X (при медленном изменении X) из-под знака сред- него, получим

что и требовалось.

Уравнения движения (50,10), (50,11) позволяют рассмот- реть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатиче- ский инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр X(t) стремится при t-*—оо и к по-

стоянным пределам Х- и Х+; задано начальное (при t = —оо) значение /_ адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение Л/ = /+ — /_ ко времени t = +00.

Из (50,10) имеем

оо

Как уже было указано, величина Л — периодическая (с перио­дом 2л) функция переменной w, разложим ее в ряд Фурье:

Л= f, e^ilwA, (51,3) /=—00

(в силу вещественности Л коэффициенты разложения связаны

при этом соотношениями Л-г = Л/). Отсюда для производной dA/dw имеем

оо оо

^{£ tf}_e^"eA_/ ^{= 2Re2>"-A,. (51,4)}

/.—оо j=i

При достаточно малом X производная w положительна (ее знак совпадает со знаком <а, см. (50,11)), т. е. ш — монотонная функция времени t. При переходе в (51,2) от интегрирования по dt к интегрированию по dw пределы останутся поэтому прежними:

_{f («и}

— 00

Подставим сюда (51,4) и преобразуем интеграл, рассмат­ривая в нем формальным образом w как комплексную

переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях w, сместим путь интегрирования с вещественной оси w в верхнюю полу­плоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, при­нимает вид, показанный схематически на рис. 56. Пусть wq—■ ближайшая к вещественной оси особая точка, т. е. точка с наи­меньшей по величине (положительной) мнимой частью. Глав­ный вклад в инт.еграл (51,5) возникает от окрестности этой

О

(51,6)

точки, причем каждый из членов ряда (51,4) дает вклад, содержа­щий множитель ехр(—/ImWo). Со­храняя опять-таки лишь член с наи­меньшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т. е. член с / = 1), найдем, что ')

ow₀

А/ со ехр (— Im wo).

■ ■ Пусть to — «момент времени»

Рис. 56 (комплексное число!)', отвечающий

особой точке Wo^-. w(t₀) = w₀. По по­рядку величины |/о| совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это вре­мя через т⁶). Порядок же величины показателя степени в (51,6)' будет

Im w₀ ~ от ~ т/Г. (51,7)

Поскольку, по предположению, т ^> Г, то этот показатель ве­лик. Таким образом, разность /₊ — /_ убывает экспоненциаль­но при уменьшении скорости изменения параметров системы⁷).

Для определения w₀ в первом приближении по Г/т (т. е. с сохранением лишь члена ~ (Г/т)^-1 в показателе) можно от­бросить в уравнении (50,11) малый член, содержащий А.,, т. е. писать

■$-=«>(/, МО),

(51,8)

') В специальных случаях может оказаться, что разложение (51,4) не со­держит члена с I = 1 (см., например, задачу 1 к этому параграфу); во всех случаях надо брать член с наименьшим имеющимся в ряду значением /.

причем аргумент / функции ю (/, к) полагается постоянным, скажем, равным /_. Тогда

и

о;₀=$а(/. М0)Л (51,9)

(в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение t; интересующая нас мнимая часть wq от этого зна­чения не зависит) ').

А/ оо Re jj

Интеграл же (51,5) с w из (51,8) '(и с одним членом ряда 1(51,4) в качестве дЛ/dw) принимает вид

. i_w к dw /el tn\

^ie 1о17ГяТ- ⁽⁵¹'¹⁰⁾

Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют осо­бенности (полюсы, точки ветвления) функций к (t)' и 1/ш'(0. Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости А/ связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек.

Задачи