§ 50. Канонические переменные

Пусть теперь параметр Я постоянен, так что рассматривае­мая система замкнута.

Произведем каноническое преобразование переменных q, ,р_х выбрав величину / в качестве нового «импульса». Роль про­изводящей функции должно при этом играть «укороченное дей­ствие» So, выраженное в функции от q и /, Действительно, So определяется как интеграл

S₀ (q, Е; Я) = J р (q, Е; Я) dq, (50,1)

взятый при заданном значении энергии Е (и параметра Я). Но для замкнутой системы / является функцией одной только энергии; поэтому So можно с тем же правом выразить в виде функции S_Q(q, /;Я), а частная производная (dS₀/dq)_E = р сов­падает с производной [dSo/dq)i при постоянном /. Поэтому имеем

^{Р-**УЛ). (50,2)}

что соответствует первой из формул канонического преобразо­вания (45,8). Вторая же формула определит новую «коорди­нату», которую обозначим через до:

_w=~ _ , (Ы),6)

Переменные '/ и w называют каноническими переменными, при­чем / называется в этой связи переменной действия, aw—, угловой переменной.

Поскольку производящая функция So(q, I; Я) не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н' совпадает со старой Н, выраженной через новые переменные. Другими словами, Н' есть энергия, выраженная в функции переменной

§ so]

КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

203

действия, £■(/). Соответственно уравнения Гамильтона для ки­нетических переменных имеют вид

/ = 0, ф = -ЦР-. (50,4)

Из первого имеем, как и следовало, 1= const — вместе с энергией постоянна и величина I. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени:

dE

w = -jf t + const = ю (I) i + const; (50,5)

она представляет собой фазу колебаний.

Действие S₀(q,I)—неоднозначная функция координат. По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение

AS₀==2n/, (50,6)

как это очевидно из (50,1) и определения I согласно (49,7), За это же время угловая переменная получает приращение

Дш = Д^ = -^-Д5₀ = 2я. (50,7)

Обратно, если мы выразим q и р (или любую их однознач­ную функцию F£q_yp)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении ад на 2я _t(npH заданном значении I). Другими словами, всякая однозначная функция F(q,p), будучи выражена через канони­ческие переменные, является периодической функцией до с пе­риодом, равным 2я.

Уравнения движения могут быть сформулированы в кано« нических переменных также и для незамкнутой системы с зави­сящим от времени параметром X. Преобразование к этим пе­ременным осуществляется по-прежнему формулами (50,2)—. (50,3) с производящей функцией 5₀, определяемой интегралом 5(50,1) и выраженной через переменную /, определяемую инте­гралом (49,7). Неопределенный интеграл (50,1) и определен­ный интеграл (49,7) вычисляются при этом так, как если бы параметр X(t) имел заданное постоянное значение; другими словами, Sow, Л МО)—прежняя функция, вычисленная при постоянном X, замененном затем заданной функцией X(t) ').

Поскольку производящая функция оказывается теперь (вме­сте с параметром X) явной функцией времени, то новая функ­ция Гамильтона Я' уже не будет совпадать со старой, т, е,

') Подчеркнем, однако, что определенная таким образом функция So уже отнюдь не совпадает с истинным укороченным действием для системы с за­висящей от времени гамильтоновой функцией!

с энергией £(/). Согласно общим формулам канонического пре* образования (45,8) имеем

Н' = Е (/; Я) + = £ (/; Я) + ЛЯ,, (50,8)

где введено обозначение

^Аваа(-тН,,' (ЭД

причем Л должна быть выражена (после осуществления диф­ференцирования по Я) с помощью (50,3) через / и до. Уравнения Гамильтона принимают теперь вид

_{(&),.Л <}^s_»'^!_°>

^ю 37

^аЯ_{'.==ш(/;Я) + (^)шДЯ, (50,11)}

где ю = (дЕ/д1)},— частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Я было постоянным).

Задача

Написать уравнения движения в канонических переменных для гармони­ческого осциллятора (функция Гамильтона (49,11)) с частотой, зависящей от времени.

Решение. Поскольку в (50,1) — (50,3) все действия совершаются при постоянном Я (роль которого играет в данном случае сама частота ю), то связь q и р с w имеет тот же вид, что и при постоянной частоте (когда w = at):

V2E . /~W . г-: j- sin w = Л / sin w, p = у 2mm cos w. ma¹ V ям» ^r

Отсюда

S₀ = ^ p dq = ^ p j dw = 21 ^ cos² w dw

и затем

^{Л — ( да X, / ~~ ( dw )/ ( 5ш ~~ 2(0 Sin 2а<'}

Уравнения (50,10), (50,11) принимают теперь вид

/ = —/—cos2a», а» = ш + тг— sin 2w. ш 2(0