1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби для движения

частицы в поле

(J = — -Fz г

'(наложение кулоновского и однородного полей); найти специфическую для такого движения сохраняющуюся функцию координат и импульсов. Решение. Данное поле относится к типу (48,15), причем

I², 6(tj)-o + -

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби дается формулой (48,16) с втими функциями а(|) и Ь(ц).

Для выяснения смысла постоянной В пишем уравнения

9

2\р\ + та (i)__OT£i + -^|- = B,

2цр\ + mb (ii) - тЕц + = - 6.

Вычтя одно из этих уравнений из другого и выразив импульсы p^ — dSjdl и Р_ч= dS/dri через импульсы р_р = dS/dp и р³ = dSJdz в цилиндрических координатах, получим после простого приведения:

Выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл движения,

специфический для чисто куэюновского ноля («-компонента вектора 05,17)), 2, То же в поле

^ai Ккуяояовское ноле двух неподвижных центров на расстоянии 2о друг от друга).

Решение. Данное поле относятся к типу (48,21), причем

cti ■ а_г

1, Нч)'

cti — а₂

Действие S(£, Щ Ф, ?) получается подстановкой этих выражений в (48,22). Смысл постоянной В выясняется аналогично тому, как это было сделано в задаче 1; она выражает собой ⁴ данном случае сохранение следующей вели­чины:

^{6 = о2 (р2 + ^) — AI2 + 2та («1 cos 0! + а}₂ ^{cos 9}₂^),

где

Л1

■2⁵Р/у>_р,

a 9i и 02 — углы, указанные на рис, 55,

§ 49. Адиабатические инварианты

Рассмотрим механическую систему, совершающую одно­мерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром Я, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится¹).

Предположим, что параметр Я под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) ме­няется со временем. Под медленным подразумевается такое из­менение, при котором Я мало меняется за время периода дви­жения системы Т:

Т^г<Ь. (49,1)

При постоянном Я система была бы замкнутой и совершала бы строго периодическое движение с постоянной энергией Е и вполне определенным периодом Т(Е). При переменном пара­метре Я система не является замкнутой и ее энергия не сохра­няется. Но в силу предположенной медленности изменения Я скорость Ё изменения энергии будет тоже малой. Если усред­нить эту скорость по периоду Т и тем самым сгладить «быст­рые» колебания в ее величине, то получающееся таким обра­зом значение Ё определит скорость систематического медлен­ного изменения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, что она будет пропорциональна скорости Я изме­нения параметра Я. Это значит, другими словами, что пони­маемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина Е будет вести себя как некоторая функция от Я. Зависимость Е от Я можно представить в виде постоянства некоторой комби­нации из Е и Я. Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, на­зывают адиабатическим инвариантом.

Пусть H(q,p;X)—гамильтонова функция системы, завися­щая от параметра Я. Согласно (40,5) скорость изменения энер­гии системы

dt ~ dt ~ дХ dt • ^'^z>

Выражение в правой стороне этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной Я, но и от быстро меняю­щихся переменных q и р. Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии надо, согласно ска­занному выше, усреднить равенство (49,2) по периоду движе­ния. При этом ввиду медленности изменения Я (а с ним и Я) можно вынести к за знак усреднения:

Ж^^Ж. _{(49 3>}

dt dt дХ ' \™,*)

а в усредняемой функции дН/дХ рассматривать как изменяю­щиеся величины лишь q и р, но не к. Другими словами, усред­нение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении к. Запишем усреднение в явном виде как

Ж —J_ С ^дН м дХ Т ) дХ ^и

о

Согласно уравнению Гамильтона q = dH/dp имеем

dt= ^dq

дН/др '

С помощью этого равенства заменяем интегрирование по вре­мени на интегрирование по координате, причем и период Т, записываем в виде

т

знаком <§> здесь обозначается интегрирование по полному из­менению координаты («вперед» и «назад») за время периода¹), Таким образом, формула (49,3) принимает вид

dE _ dX 1 дН/др

dt dt £ dq ' ^^у'^а>

dHjdp

Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении X. Вдоль такой траектории функция Га­мильтона сохраняет постоянное значение Е, а импульс является определенной функцией переменной координаты q и двух по­стоянных независимых параметров Е п X. Понимая импульс именно как такую функцию p(q\E,X) и дифференцируя равен­ство Н(р, q;X) = E по параметру X, получим:

дН_,дН_др__п дН/дХ _ др

дХ "т" др дХ ^ИЛИ дН/др ~~ дХ '

Подставив это в верхний интеграл в (49,5) и написав в ниж­нем подынтегральную функцию в виде др/дЕ, имеем:

dE dX j дХ с / dp dE , dp dX

4f ==0, (49,6)

Это равенство можно окончательно переписать в виде

Л dt

где / обозначает интеграл

взятый по траектории движения при заданных £ и I, Этот результат показывает, что величина / остается в рассматри­ваемом приближении постоянной при изменении параметра X, т. е. является адиабатическим инвариантом.

Величина / является функцией энергии системы (и пара­метра X). Ее частная производная по энергии определяет пе­риод движения: согласно (49,4) имеем

или иначе!

Ж=<°' (⁴⁹>⁹>

где ш = 2яГ — частота колебаний системы.

Интегралу (49,7) может быть приписан наглядный геомет­рический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе коорди­нат р, q, и фазовая траектория системы, совершающей перио­дическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49,7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он мо­жет быть написан и как двумерный интеграл по площади:

^{I =} 4r\^dP^d(*- <⁴⁹'¹⁰>

В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона

2т

2л2

"~£г + ^¥~. (49,11)

где со¹—собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии

Н(р, q) = E.

Это есть эллипс с полуосями «j2mE и -у/2Е/тв? и его пло- щадь (деленная на 2я)

/==£/(0. (49,12)

Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.