§ 48. Разделение переменных

В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби может быть достигнуто мето­дом-так называемого разделения переменных, сущность кото­рого состоит в следующем.

Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее q\ — и соответствующая ей производная dS/dqi входят в уравнение Гамильтона — Якоби только в виде некоторой комбинации

Ф (q_u -^р), не содержащей никаких других координат (или

времени) и.производных, т. е. уравнение имеет вид

^{фК'.-^. ж- Ч?1'^)}=0' (48,1)}

где <7< обозначает совокупность всех координат за исключе нием q\.

Будем искать в этом случае решение в виде суммы

S = S'(q_t, 0 + 5,Ы. (48,2)

Подставив это выражение в уравнение (48,1), получим:

_{fr- К}^д1_'Ю}⁼⁰_- ^(48,3)

Предположим, что решение (48,2) найдено. Тогда после под­становки его в уравнение (48,3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты qi. Но при изменении qi может меняться только функция ф; поэтому тождественность равенства (48,3) тре­бует, чтобы и функция ф сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение (48,3) распадается на два уравнения:

ф(*.-0г) = «1. ^{48'⁴⁾

где at — произвольная постоянная. Первое из них есть обыкно­венное дифференциальное уравнение, из которого функция S\(q\) может быть определена простым интегрированием. Пос­ле этого остается дифференциальное уравнение в частных про­изводных (48,5), но уже с меньшим числом независимых пе­ременных.

Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла урав­нения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о раз­делении s переменных (координат) в уравнении (47,6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид

S = Ц S_k(q_k; a, a_s) — E(a,, a_s)t, (48,6)

k

где каждая из функций S*. зависит лишь от одной из коорди­нат, а энергия Е как функция произвольных постоянных щ, .., ,,,, a_s получается подстановкой 5₀= 2 Sfc в уравнение (47,6).

Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата <7i вовсе не входит в яв­ном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Га­мильтона— Якоби. Функция <p(^q_x, сводится при этом про­сто к dS/dqi, и из уравнения (48,4) имеем просто S_x = сад, так что

S = S^,(q_l, 0 + (48,7)

Постоянная а_х есть при этом не что иное, как постоянное зна­чение импульса pi = dS/dq_u отвечающего циклической коор­динате. Отметим, что отделение времени в виде члена —Et для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменной» t.

Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упро­щения интегрирования уравнений движения, основанные на ис­пользовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение пере­менных возможно, хотя координаты не являются циклически­ми. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона — Якоби является наиболее могущественным методом нахождения об-' щего интеграла уравнений движения.

Для разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим неко­торые примеры разделения переменных в различных коорди­натах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движений материальной точки в различных внеш­них полях.

1. Сферические координаты. В этих координатах (г, 6, ср) функция Гамильтона

и разделение переменных возможно, если

и—а\г)-т- _Г2 -г- ^_sinsе ■

где а (г), 6 (0), с'(ср) — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический ин­терес, и потому мы рассмотрим поле вида

U = a(r) + ^-. (48,8)

В этом случае уравнение Гамильтона—Якоби для функции S₀

Учитывая цикличность координаты ф, ищем решение в виде

S₀ = /VP + S,(r) + S₂(e) и для функций Si (г) и 5г(Э)' получаем уравнения

(^.)⁸ _{+ 2}«6(В) + ₁^_г=Э.

^•(^)² + а(г)+^ = _£.

Интегрируя их, получим окончательно: S = —Я/ + /ур +

+ \ У В - 2т& (9) - ^ <Ю + \ л]2т [Е - а (г)] - ~ dr. (48,9)

Произвольными постоянными здесь являются р_ф, В, Е; диф­ференцируя по ним и приравнивая результат дифференциро­вания новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.

2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам £, т), ф совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как р, ф, г) по формулам

г^ЧЛЪ-А), р = У1л*. (48,10)

Координаты 1 и г) пробегают значения от нуля до со; поверх­ности постоянных | и т) представляют собой, как легко убе­диться, два семейства параболоидов вращения (с осью z в ка­честве оси симметрии). Связь (48,10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус

г = _л/?Т?" = ^,/2Й+т]). (48,11)

Тогда

| = r + z, т) = г — г. (48,12)

Составим функцию Лагранжа материальной точки в коор­динатах \, п., ф. Дифференцируя выражения (48,10) по времени и подставляя в

£ = ^-(р² + Р²ф² + £²)-£/(р, Ф, z) [((функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим: L = ^(t + 4)(^ + ^) + %-tw²-U(h ц, _Ф). (48,13)

Импульсы равны

Pi =-J|-(i + 'n)i Pr)=^-Q + *i)f|, р_Ф = т|т1ф и функция Гамильтона

^{*-iJ4T^ + l|f+ "«.-!.♦). (48.14)}

Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида

i + п 2r ' ^V '

_{г Г* ( dS„ у , ( aSo.fl , fiSo.y . а (6) + Ь (ч) =p}

«(БТ^нЧ ag J Л ^ 2m|ri ^ dtp ^ g+r)

Циклическая координата ср отделяется в виде р_фср. Умножив затем уравнение на /п(| + ч) ^и перегруппировав члены, по­лучим:

^{21 (^-У + та (|) - «ЕЕ ++ 2, (^)* +}

+ тЬ(х₁)-тЕц + ^ = 0.

Положив

S₀ = /VP + S, а) + 5₂(п), получим два уравнения dS, \²

Имеем уравнение

2

/ dS V v

/ dS \² р²

и, интегрируя их, найдем окончательно:

_{. е ^ l}^mE _i ^р _{рГ ,£ , г А р ^ (л) pf .}

+ J VT⁺2|~"2|-~1F ^Ul+ \ У-Т-Тц 2^ 4^

(48,16)

с произвольными постоянными р_ф, 8, £.

3. Эллиптические координаты. Эти координаты |, ц, ф вво­дятся согласно формулам

Постоянная а является параметром преобразования. Коорди­ната | пробегает значения от единицы до оо, а координата ц от —1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния г\ и г₂ до точек А_г и А₂ на оси z с координатами z = а и z = — а '): г_{ — — а)² + р², /■₂=У(г + а)² + р².

Подставив сюда выражения (48,17), получим:

г, = а (1 — ц), г₂ = а (| + tj),

_? r₂ + г, _ л₂ — г, (48,18)

^6— 2а ' ^ 2а "

Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических коор­динат к эллиптическим, найдем:

+ d' - 1) (1 - ч^!) Ф^! - U (|, ч, <р). (48,19)

Отсюда для функции Гамильтона получим:

2/n<r²(g²-

Я ~ ^ [(i² - 1) Pi + (1 - л²) Pi + (|r~i + т4^>ф]+

+ Л, Ф>. (48,20)

Физически интересные случаи разделения переменных соот­ветствуют потенциальной энергии

"-■^j^-^W^+K^)}- <⁴⁸'²¹>

где а (£) и &(г|)— произвольные функции. Результат разделе­ния переменных в уравнении Гамильтона — Якоби гласит:

Г / I в — 2ma²a (|) Z

S=-Et + p^+) <у2то²Е+ _|2_/^S ₁^_Wdl +

Г / й В + ЧтаН (л) р!

+ J Д/ 2та²£ - , _ _ц2 JT^W ^dl[' ⁽⁴⁸'²²⁾

Линии постоянных £ представляют собой семейство эллипсоидов

₀2|2 I 0-2 (!*_!)

с фокусами в точках /»i и Л₂, а линии постоянных т) — семейство софокусных с ними гиперболоидов

^ Р² _.

Задачи