1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декарто- вых, цилиндрических и сферических координатах.

Ответ. В декартовых координатах х, у, z:

^h==-^(pI + pI + pI) + ^u <*• у> ²>-

В цилиндрических координатах г, ср, г:

^//_=i(^p_'⁺_-^⁺_"0^+t/(r_-^4,_'²⁾_-

В сферических координатах г, 6, ер:

2. Найти функцию Гамильтона частицы в равномерно вращающейся си- стеме отсчета.

Решение. Из (39,11) и (39,10) получим:

H ₌ ^--_{Q[rp] +} U.

3. Найти функцию Гамильтона системы из одной частицы с массой м и п частиц с массами т, с исключенным движением центра инерции (см. Задачу

'к § 13).

Решение Энергия Е получается из найденной в задаче к § 13 функ­ции Лагранжа изменением знака перед V. Обобщенные импульсы:

а

Отсюда имеем:

р. i-J ц

Подставляя в Е, найдем:

Ра-

§ 41. Функция Payca

В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответ­ствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.

Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и |, и произведем преобразование от переменных q, |, q, £ к переменным q, |, р, £, где р — обобщенный импульс, соответ­ствующий координате q.

Дифференциал функции Лагранжа L{q, £, q, |) равен:

dL = ^dq + ^dq + ?±dl + ^4- _d| ₌ dq ⁴ dq ⁴ dl d\ ^Ui

~pdq+pdq^dt + ^di,

d\ r»5

откуда получаем

d (L — pq) = p dq — q dp + dl + d%.

dl dl

Введем функцию (так называемую функцию Рауса)

R(q, p,lA) = pq-L, (41,1)

в которой скорость q выражена через импульс р при помощи равенства р = dL/dq. Дифференциал

dR = -pdq + qdp--^dl-^_dl (41,2)

<5| dl

Отсюда следует, что

• dR . dR ... „.

(41,4)

dl dl d% d% >

Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для координаты I, получим:

d dR dR ,_л, _сч

Ч ⁼ -ЬТ' P⁼-~dq-' ⁽⁴¹'³⁾

dL dR dL dR

функция рауса

173

Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате q (уравнения (41,3)) и лагранжевой по отношению к координате % (уравнение (41,5)).

Согласно общему определению энергия системы

г, . dL . l dL , . . l dL ,

Е ^{= (}1-гг + 1~l L=*pq +1—7 L.

dq dl dl

Ее выражение через функцию Рауса получается путем подста­новки сюда (41,1) и (41,4)

E = R-i^C- (41,6)

Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат q и £, очевидно.

Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если коор­динаты q—циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя будет функцией только от р, |, |. Но импульсы р, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второго из уравнений (41,3), которое в этом смыс­ле не дает ничего нового). После замены импульсов р их задан­ными постоянными значениями уравнения (41,5)

d dR (р, |, |) ₌ dR (р, s, |) dt dl dl

превратятся в уравнения, содержащие только координаты |, так что циклические координаты тем самым исключаются пол­ностью. Если эти уравнения решены и функции £(/) найдены, то, подставив их в правую часть уравнений

. _ dR (р, I, 6) ⁴ dp

мы найдем прямым интегрированием функции q(t). Задача

Найти функцию Рауса симметрического волчка во внешнем поле £/(ф, 6), исключив циклическую координату ф (ф, ф, 9 — эйлеровы углы). Решение. Функция Лагранжа

1 = ^-(в²+ф²51п^г9) + -|-(ф + фсо5в)*- £/(_ф, 8) (ср. задачу 1 § 35). Функция Рауса

2 j'

R _ /VJ> - L - -gi - jyp cos 8 - -± (в² + Ф² sin² 8) + U (_Ф, в);

первый член в этом выражении представляет собой постоянную, которая мр-жет быть опущена.