1. Найти отклонение свободно падающего тела от вертикали, обусловлен- ное вращением Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.)

Решение. В поле тяжести U = —mgr, где g — вектор ускорения силы тяжести; пренебрегая в уравнении (39,9) центробежной силой, содержащей квадрат Я, получиум уравнение движения в виде

v = 2[vQ] + g. (1)

Решаем это уравнение последовательными приближениями. Для этого по­лагаем: v = Vi -f- v», где vi — решение уравнения vi = g, т. е. vi = gt -f- vo (v₀ — начальная скорость). Подставляя v = vi + v₂ в (1) и оставляя справа только vt, получим уравнение для V2:

v₂ = 2 [v,Q] = 2<[gQ] + 2 [v„»].

Интегрируя, получим:

r = h+v₀* + -^+-^[gQ]-M²[voG], (2)

где h — вектор начального положения частицы.

Выберем ось г по вертикали вверх, а ось х — по меридиану к полюсу, тогда

Sx = gy = 0, gz = — g> &х — Q cos A, Q_y = 0; Q_Z=Q sin X,

где Я —широта (которую для определенности предполагаем северной). Поло­жив в (2) Vo = 0, найдем:

г³

х = 0, у = — gQ cos X.

Подставив сюда время падения / ■\^/2h/g, найдем окончательно:

„ W 2А \зр х = 0, у = ^— J gQ cos л

(отрицательные значения у соответствуют отклонению на восток).

2. Определить отклонение от плоскости для тела, брошенного с поверх- ности Земли с начальной скоростью v0.

Решение. Выбираем плоскость хг так, чтобы плоскость v₀ лежала в ней. Начальная высота h = 0. Для бокового отклонения получим из (2) (за­дача i):

t³

У = 3- g&x + t² (fi*t>oz — QzVax).

или, подставив время полета / « 2voz'g:

3. Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колеба­ния маятника (так называемый маятник Фуко).

Решение. Пренебрегая вертикальным смещением маятника как малой величиной второго порядка, можно считать движение тела происходящим в горизонтальной плоскости ху. Опуская члены, содержащие Я², напишем урав­нения движения в виде

х + со²* = 2Q_zi/, у + со²</ = — 2Q_zx,

где со — частота колебаний маятника без учета вращения Земли. Умножив второе уравнение на I и сложив с первым, получим одно уравнение

| + 2/Q₂£ + co²& = 0

для комплексной величины \ = х-\- iy. При Я₂ <^ со решение этого уравнения имеет вид

1 _{= е}-'^а**(А₁е^ш + А_2е-^м)

или

-iQ t

х + iy = e ² (х₀ + iyo),

где функции Xa\t), (/о(0 дают траекторию маятника без учета вращения Зем­ли Влияние этого вращения сводится, следовательно, к повороту трае^ории вокруг вертикали с угловой скоростью Q_z.

Глава VII

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 40. Уравнения Гамильтона

Формулирование законов механики с помощью функции Ла­гранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предпо­лагает описание механического состояния системы путем зада­ния ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных ко­ординат и импульсов системы. В связи с этим возникает во­прос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.

Переход от одного набора независимых переменных к дру­гому можно совершить путем преобразования, известного в ма­тематике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.

Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен

i i

Это выражение можно написать в виде

dL^Zpt dq_t + £ p_t dq_u (40,1)

поскольку производные dL/dqi являются, по определению, обоб­щенными импульсами, a dL/dqi = pi в силу уравнений Ла­гранжа.

Переписав теперь второй член в (40,1) в виде £ Pi dq_t = d (£ piqi) — £ q, dp_h

перенеся полный дифференциал d(£p*<7i) в левую сторону равенства и изменив все знаки, получим из (40,1):

d (£ pAi - = - £ Л dft + Е ft dpi-

Величина, стоящая под знаком дифференциала представ­ляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функ­цией системы

H{p,q,t)=Y_JP_iqi~L. (40,2)

i

Из дифференциального равенства

dH = - Z Pidq_t + £ q_td_Pl, (40,3)

следуют уравнения

i*⁼-w_t- ^р'=-^7- ^(40,4)

Это — искомые уравнения движения в переменных р и о, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систе­му 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвестных функций p(t) и q(t), заменяющих собой s уравне­ний второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формаль­ной простоты и симметрии эти уравнения называют также ка­ноническими.

Полная производная от функции Гамильтона по времени dH _ дН . V дН . . v дН .

~w—^r ⁺ L'dq~:^{qi +} LTp~_l^Pi-

При подстановке сюда qi и pi из уравнений (40,4) последние два члена взаимно сокращаются, так что

В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то dH/dt = 0, т. е. мы снова приходим к закону сохране­ния энергии.

Наряду с динамическими переменными q, q или q, р функ­ции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической си­стемы или действующего на нее внешнего поля. Пусть X — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40,1):

^dL=Yj ^{pi dqt+}Z^{pi dqt+}ж^dl>

после чего вместо (40,3) получим:

dH = - £ fa dq_t + £ q_t dpi - dL

Отсюда находим соотношение

/ дН \ ( dL \

связывающее частные производные по параметру % от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных р и q, а в другом — при постоянных q и q.

Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид L = Lo + L', где V пред­ставляет собой малую добавку к основной функций L₀. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона Н = Н₀ -f- Н' связана с V посредством

W\_q=-{L\_q. (40,7)

Заметим, что в преобразовании от (40,1) к (40,3) мы не писали члена с dt, учитывающего возможную явную зависи­мость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имею­щего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле (40,6) частные производные по времени от L и от Н связаны соотношением

^{(4а.~ «ад}

Задачи