§ 39. Движение в неинерциальной системе отсчета

До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе от­счета. Только в инерциальных системах отсчета функция Ла­гранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид

(39,1)

и соответственно уравнение движения

_»3—

(мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины,, относящиеся к инерциальной системе отсчета).

Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправ­ным пунктом при решении этого вопроса снова является прин­цип наименьшего действия, применимость которого не ограни­чена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа

Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39,1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преоб­разование функции Lq.

Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмот­рим сначала систему отсчета К', которая движется относитель­но инерциальной системы Ко поступательно со скоростью \(t). Скорости v₀ и v' частицы относительно систем Ко и К' связаны друг с другом соотношением

v₀ = v' + V(0. (39,3)

Подставив это выражение в (39,1), получим функцию Лагран­жа в системе К'

I' = ™»1 + mv'V + -f- V² - U.

Но V²(t) есть заданная функция времени;' она может быть представлена как полная производная по / от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении мо­жет быть опущен. Далее, v' = dr'/dt, где г' — радиус-вектор частицы в системе координат К'; поэтому

^{т\ (0 v' = mV^f = ^ (mVrO - тх' ^.}

Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно:

V = - mW (0 г' - U, (39,4)

где W = dV/dt — ускорение поступательного движения системы отсчета К'.

Составляя с помощью (39,4) уравнение Лагранжа, получим: m^ = -|^--mW(0. (39,5)

Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения дви­жения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противополож­ную этому ускорению сторону.

Введем теперь еще одну систему отсчета, К, которая имеет общее с системой К' начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью Q(r); по отношению же к инерциальной системе Ко система К совершает как поступательное, так и вра­щательное движение.

Скорость v' частицы относительно системы К' складывается из ее скорости v относительно системы К и скорости [Qr] ее вращения вместе с системой К:

v' = v + [Qr]

(радиус-векторы гиг' частицы в системах К и К' совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа (39,4), по­лучим:

L = -2^1 + mv [Qr] + -f - [Qr]² - mWr - U. (39,6)

Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произ­вольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что враще­ние системы отсчета приводит к появлению в функции Лагран­жа члена особого вида — линейного по скорости частицы.

Для вычисления производных, входящих в уравнение Ла­гранжа, пишем полный дифференциал

dL = mv dv + т dv [Qr] +

+ mv [Q dr] + m [Qr] [Q dr] -mWdr- §^dr =

*=mvdv + mdv [Qr] + mdr [vQ] + m [ [Qr] Q] dr - mWdr—^dr.

Собирая члены, содержащие dv и dr, найдем:

lL = _mv-t-m[Qr],

*L = m [vQ] + m [[Qr] Q]-mW-f.

Подставив эти выражения в (39,2), получим искомое уравне­ние движения

^msr ⁼ ~4r^_mW + ^m[rQJ +^2тtvQJ + ^т[Q(^rQH- ⁽³⁹'⁷>

Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила m[rQ] свя­зана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2т [vQ] называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила т[Я[гЯ]] называется центробежной. Она направлена в пло­скости, проходящей через г и Я перпендикулярно к оси враще­ния (т. е. направлению Я), в сторону от оси; по величине цен­тробежная сила равна /прЯ², где р — расстояние частицы от оси вращения.

Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся систе­мы координат, не имеющей поступательного ускорения. Поло­жив в (39,6) и (39,7) Я = const, W = О, получим функцию Лагранжа

L = ^ + mv[Qr] + _T[Qr]²-<y (39,3)

и уравнение движения

m ~ = -1Г + 2т [уЯ] + т[Я[гЯ]]. (39,9)

p = -^- = mv + m[Or] (39,10)

Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив

dL dv

в Е — pv — L, получим:

Е = ~-^[Иг]² + и. (39,11)

Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергию члена, зависящего только от коорди­нат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости.

Эта дополнительная потенциальная энергия — -^-[Яг]² назы­вается центробежной.

Скорость v частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью v₀ относительно инерциальной системы Ко посредством

v₀ = v + [Qr]. (39,12)

Поэтому импульс р (39,10) частицы в системе К совпадает с ее же импульсом ро = mv₀ в Системе Ко. Вместе с ними сов­падают также моменты импульсов Мо = [гр₀] и М = [гр]. Энер­гии же частицы в системах К и Ко различны. Подставив v из (39,12) в (39,11), получим:

9 2

£ = ^-mv₀[fir] + (7=^ + tV-m[rv₀] Я.

Первые два члена представляют собой энергию Ео в системе Ко- Вводя в последний член момент импульса, получим:

£ = £₀-MQ. (39,13)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вы­вод может быть непосредственно обобщен на случай любой си­стемы частиц и приведет к той же формуле (39,13).

Задачи