1. Пользуясь принципом д'Аламбера, найти уравнения движения однород­ного шара, катящегося по плоскости под действием приложенных к нему внешней силы f и момента сил к.

Решение. Уравнение связи (38,3) написано уже в тексте. Вводя силу реакции (обозначим ее, как R), приложенную в точке касания шара с пло­скостью, напишем уравнения (38,6):

H-gp-F + R. (1)

dV dt

da

— = К - a [nR] (2)

(здесь учтено, что Р = \iV и что для шарового волчка М = ISi). Дифферен­цируя уравнение связи (38,3) по времени, получим:

V = а [Пп].

Подставив в уравнение (1) и исключая Q с помощью (2), найдем уравнение

— (F + R) = [Кп] -аЯ + ап (nR),

связывающее силу реакции с F и К. Расписав это уравнение в компонентах

2

будем иметь:

и подставив / =-g- ил² (см. задачу 2, б, § 32),

^{Rx =} Ta~^Ky-T^Fx' ⁵ к ² Р

7а

(плоскость х, у выбрана в плоскости качения). Наконец, подставив эти выражения в (1), по­лучим уравнения движения, содержащие уже только заданные внешние силу и момент:

5 ~7рТ

dt dV^ dt

Компоненты Я*, Q_y угловой скорости выража­ются через V_x и V_y с помощью уравнения

связи (38,3), а для Й₂ имеем уравнение ~ \ia² = Кг (г-компонента уравнения (2)).

2. Однородный стержень bd весом р и длиной / опирается на стену, как показано на рис. 52; его нижний конец в удерживается нитью ав, Опреде­лить реакцию опор и натяжение нити.

Рис. 53

Решение. Вес стержня представляется приложенной к его середине силой Р, направленной вертикально вниз. Силы реакции R_B и Rc направлены соответственно вертикально вверх и перпендикулярно к стержню; натяжение

нити Т направлено от В к Л. Решение уравнений равновесия дает: Р1

R_c—-^sm2a, R_B = Р — R_c sin a, T = R_C cos а.

3. Стержень АВ весом Р опирается своими концами на горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 53) и удерживается в этом положении двумя горизонтальными нитями AD и ВС; нить ВС находится в одной (вертикаль­ной) плоскости со стержнем АВ. Определить реакции опор и натяжения нитей.

Решение. Натяжения нитей Та и Тв на­правлены от А к В и от В к С. Реакции Ra и Rb перпендикулярны к соответствующим пло­скостям. Решение уравнений равновесия дает:

*в = ^Я- T_B = ^dga, ^ = r_Bsin_P,

4. Два стержня длиной / соединены свер­ху шарниром, а снизу скреплены нитью АВ (рис. 54). К середине одного из стержней приложена сила F (весом стержней пренебре­гаем). Определить силы реакции.

Решение. Натяжение нити Т действует в точке Л от Л к В, а в точке В—от В к Л. Реакции Ra к Rb в точках Л и В перпенди- р_ис 54

кулярны к плоскости опоры. Посредством Rc обозначим силу реакции в шарнире, действую­щую на стержень АС; тогда на стержень ВС действует реакция — Rc- Усло­вие равенства нулю суммы моментов сил Rb, Т и —Rc, действующих на стержень ВС, приводит к результату, что вектор Rc направлен вдоль ВС. Остальные условия равновесия (для каждого из двух стержней) приводят к значениям

Ra°-T^f> ^ = 4-. R_r = л ^F • Т = -—F ctga, а А «4 ^с 4 sin а 4

где a — угол CAB.